曲线积分曲面积分总结重点讲义资料VIP免费

1 第十三章曲线积分与曲面积分定积分和重积分是讨论定义在直线段、平面图形或者空间区域上函数的积分问题．但在实际问题中， 这些还不够用， 例如当我们研究受力质点作曲线运动时所作的功以及通过某曲面流体的流量等问题时，还要用到积分区域是平面上或空间中的一条曲线，或者空间中的一张曲面的积分，这就是这一章要讲的曲线积分和曲面积分. 第一节对弧长的曲线积分一、 对弧长的曲线积分的概念与性质在设计曲线构件时，常常要计算他们的质量，如果构件的线密度为常量，那么这构件的质量就等于它的线密度与长度的乘积. 由于构件上各点处的粗细程度设计得不完全一样, 因此, 可以认为这构件的线密度(单位长度的质量)是变量 , 这样构件的质量就不能直接按下面它的线密度与长度的乘积来计算. 下面考虑如何计算这构件的质量. 设想构件为一条曲线状的物体在平面上的曲线方程为xfy，bax,，其上每一点的密度为yx,．如图13-1 我们可以将物体分为n 段，分点为nMMM,...,,21, 每 一 小 弧 段 的 长 度 分 别 是12,,... ,nsss ．取其中的一小段弧ii MM1来分析．在线密度连续变化的情况下, 只要这一小段足够小，就可以用这一小段上的任意一点,ii的密度,ii来近似整个小段的密度．这样就可以得到这一小段的质量近似于,iiis ．将所有这样的小段质量加起来，就得到了此物体的质量的近似值．即niiiisyxM1,．用表示 n个小弧段的最大长度. 为了计算 M 的精确值 , 取上式右端之和当0 时的极限，从而得到1lim(,).niiiiMs即这个极限就是该物体的质量．这种和的极限在研究其它问题时也会遇到. 上述结果是经过分割、求和、 取极限等步骤而得到的一种和数得极限，这意味着我们已经得到了又一种类型的积分. 抛开问题的具体含义，一般的来研究这一类型的极限，便引入如下定义：定义 13.1 设 L 是 xoy 面内的一条光滑曲线，函数yxf,在 L 上有界，用 L 上任意插入图 13-1 2 一点列nMMM,...,,21将曲线分为n 个小段 . 设第 i 段的长度为is (1,2,,in )，又ii ,为第 i 个小段上任意取定的一点，作乘积iiisf,，并作和iiinisf,1，若当各小段的长度的最大值趋于零时，此和式的极限存在，称此极限为函数yxf,在曲线 L 上对 弧长的曲线积分, 也称为 第一类曲线积分, 记作Ldsyxf,, 即01( ,)lim(,)niiiLif x y dsfs , 其中yxf,叫做 被积函数 ， L 称为 积分弧段 ．当 L 是光滑封闭曲线时，记为Ldsyxf,．...