1 近世代数复习提纲 群论部分 一、基本概念 1、群的定义（四个等价定义） 2、基本性质 （1）单位元的唯一性； （2）逆元的唯一性； （3）11111(),()abb aaa； （4）abacbc； （5）1axbxa b；1yabyba。 3、元素的阶 使mae成立的最小正整数m 叫做元素a 的阶，记作| |am；若这样的正整数不存在，则称a 的阶是无限的，记作| |a 。 （1） 11|,| | ||()| | |ag aggGaa 。 （2）若mae，则 ①| |am； ②| |am 由nae可得|m n 。 （3）当群G 是有限群时，aG ，有| |a 且| | | |aG 。 （4）| |||rnanad，其中( ,)drn。 证明 设|||rak。因为 ()()nrrnddaae，所以nk d 。 另一方面，因为 ()rkrkaae，所以 n rk ，从而 nr kdd，又 (,)1rndd ，所以 n kd，故nkd。 2 注：1 || ||||aba b，但若abba，且(|| , ||)1ab ，则有|| ||||aba b（P70.3）。 2 ||, ||GaGa ；但 , ||||aGaG 。 例1 令{|,1}nGaCnZa ，则G 关于普通乘法作成群。显然，1是G 的单位元，所以aG ，有||a ，但||G 。 二、群的几种基本类型 1、有限群：元素个数（即阶）有限的群，叫做有限群。 2、无限群：元素个数（即阶）无限的群，叫做无限群。 3、变换群：集合 A上若干一一变换关于变换乘法作成的群，叫做集合 A 上的变换群。 （1）变换群的单位元是A的恒等变换。 （2）A的所有一一变换的集合关于变换的乘法作成A上最大的变换群。 （3）一般地，变换群不是交换群。 （4）任一个群都与一个变换群同构。 4、置换群：有限集合 A上的一一变换叫做置换，若干置换作成的变换群叫做置换群。即有限集合上的变换群叫做置换群。 例2 设(123) ,(13)(24)是5S 中元素，求 。 解 12 3 4 512 3 4 512 3 4 512 3 4 5(123)(13)(24)(142)2 314 53 214 514 3 2 5413 2 5 （1）n 元集合A的所有置换作成的置换群，叫做n 次对称群，记作nS 。 （2）||!nSn。 （3）每个n 元置换都可表示为若干个没有公共数字的循环置换的乘积。 （4）11 22 1()()kki iiii i 。 （5）任一有...
