第 1 页 共 2 0 页 近世代数第二章群论答案 §1. 群的定义 1.全体整数的集合对于普通减法来说是不是一个群？ 解：不是，因为普通减法不是适合结合律。 例如 32 13 12 3211 10 32 1321 2.举一个有两个元的群的例。 解：令G ,e a,G 的乘法由下表给出 首先，容易验证，这个代数运算满足结合律 (1) , ,x y zx y zx y zG 因为，由于eaaea ，若是元素e在(1)中出现，那么(1)成立。(参考第一章，§4，习题 3。)若是e不在(1)中出现，那么有 aa aeaa a aaaea 而(1)仍成立。 其次，G 有左单位元，就是e；e有左逆元，就是e，a有左逆元，就是a。所以G 是一个群。 读者可以考虑一下，以上运算表是如何作出的。 3.证明，我们也可以用条件Ⅰ，Ⅱ以及下面的条件IV ，V 来做群的 第 2 页 共 2 0 页 定义： IV G 里至少存在一个右逆元1a ，能让 =aea 对于G 的任何元a都成立； V 对于G 的每一个元a，在G 里至少存在一个右逆元1a ，能让 1 =aae 解：这个题的证法完全平行于本节中关于可以用条件I,II,IV ,V 来做群定义的证明，但读者一定要自己写一下。 §2 . 单位元、逆元、消去律 1. 若群G 的每一个元都适合方程2 =xe ，那么G 是交换群。 解：令a和b 是G 的任意两个元。由题设 2==abababe 另一方面 22====abbaab aaeaae 于是有 =abababba 。利用消去律，得 =abba 所以G 是交换群。 2. 在一个有限群里，阶大于2的元的个数一定是偶数。 解：令G 是一个有限群。设G 有元a而 a的阶> 2n。 考察1a 。我们有 1=nnaae 11==nne aae 设正整数 2n的假设矛盾。这样，我们就有一对不同的阶大于 2的元a和1a 。 设G 还有元b ，ba ，1ba，并且 b的阶大于 2。那么1b 的阶也大于 2，并且1bb 。我们也有1ba 。 否则 1111===eb baab a 消去1b 得1=ba ，与假设矛盾。同样可证11=ba 。这样，除a和1a外，又有一对不同的阶大于 2的元b 和1b...
