【知识拓展】性质呢?那么该收敛数列有哪些即该数列为收敛数列,存在极限,a1．若某个数列n收敛数列有几个重要性质，它们可表现为下面几个定理：.,a:1n则它的极限是惟一的收敛若数列惟一性定理证明：假设数列na有两个极限a 与 b，即aaimlnn与baimlnn，根据数列极限定义，对于任意的ε>0 分别有：存在自然数,N 1 当1Nn时，有|aa|n；存在自然数2N ，当2Nn时，有|ba|n．取21 N,NmaxN，当 n>N时，同时有|aa|n与|ba|n，于是当 n>N时，有.2|ba||aa||baaa||ba|nnnn因为 a 与 b 是常数， 2ε 是任意小的正数，所以只有 a=b，上述不等式才能成立，即数列na的极限是惟一的．定理 2：（有界性）若数列na收敛，则na有界，即存在正数M，对任意自然数n 有.M|a|n证明：设aaimlnx，根据数列极限的定义，取定10（ε 可以根据需要任意选取），存在自然数N，当 n>N 时，有.1|aa|n因为|aa||a||a|nn，所以当n>N 时，有1|aa||a||a|nn或,1|a||a|n即,1|a||a|1N,1|a||a|2N,1|a||a|3N⋯．在数列na中不满足不等式1|a||a|n的项充其量不过是前N 项：N21a,,a,a. 令1|a||,a|,|,a||,a|maxMN21．于是，对任意自然数n，有.M|a|n定理 2 指出收敛的数列必有界．反之， 有界数列不一定收敛．例如，已知数列n1是有界的，但它却是发散的．换句话说，有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件．2．什么是有界数列? 定义：若存在两个数A，B( 设 A0) 都是nx的上界．这表明上界并不是惟一的，下界也是如此．(2) 对于数列nx，如果存在正整数N，当 n>N时，总有BxAn, 我们就说数列nx往后有界．要注意，往后有界一定是有界的，这是因为在N 项之前只有有限多个数,x,,x,xn21在这有限个数中必有最大的数和最小的数，设n21x,,x,xmin，,x,,x,xmaxn21那么 min(A ，α ) 和 max(B，β ) 就是整个数列nx的下界和上界．(3) 有界数列也可以这样叙述：若存在一个正数M，使得,2,1nM|x|n，就称nx是有界数列．或者也可以这么说，若存在原点Ｏ的一个M 邻域Ｏ (O， M)，使得所有M,OOx n，就称nx是有界数列，这种叙述和上面所给出的定义显然是等价的．3．什么是单调有界数列? 设nx是一个数列， 如果,xxxxn321我们就说这个数列是单调增加( 上...
