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【知识拓展】性质呢?那么该收敛数列有哪些即该数列为收敛数列,存在极限,a1.若某个数列n收敛数列有几个重要性质,它们可表现为下面几个定理:.,a:1n则它的极限是惟一的收敛若数列惟一性定理证明:假设数列na有两个极限a 与 b,即aaimlnn与baimlnn,根据数列极限定义,对于任意的ε>0 分别有:存在自然数,N 1 当1Nn时,有|aa|n;存在自然数2N ,当2Nn时,有|ba|n.取21 N,NmaxN,当 n>N时,同时有|aa|n与|ba|n,于是当 n>N时,有.2|ba||aa||baaa||ba|nnnn因为 a 与 b 是常数, 2ε 是任意小的正数,所以只有 a=b,上述不等式才能成立,即数列na的极限是惟一的.定理 2:(有界性)若数列na收敛,则na有界,即存在正数M,对任意自然数n 有.M|a|n证明:设aaimlnx,根据数列极限的定义,取定10(ε 可以根据需要任意选取),存在自然数N,当 n>N 时,有.1|aa|n因为|aa||a||a|nn,所以当n>N 时,有1|aa||a||a|nn或,1|a||a|n即,1|a||a|1N,1|a||a|2N,1|a||a|3N⋯.在数列na中不满足不等式1|a||a|n的项充其量不过是前N 项:N21a,,a,a. 令1|a||,a|,|,a||,a|maxMN21.于是,对任意自然数n,有.M|a|n定理 2 指出收敛的数列必有界.反之, 有界数列不一定收敛.例如,已知数列n1是有界的,但它却是发散的.换句话说,有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件.2.什么是有界数列? 定义:若存在两个数A,B( 设 A0) 都是nx的上界.这表明上界并不是惟一的,下界也是如此.(2) 对于数列nx,如果存在正整数N,当 n>N时,总有BxAn, 我们就说数列nx往后有界.要注意,往后有界一定是有界的,这是因为在N 项之前只有有限多个数,x,,x,xn21在这有限个数中必有最大的数和最小的数,设n21x,,x,xmin,,x,,x,xmaxn21那么 min(A ,α ) 和 max(B,β ) 就是整个数列nx的下界和上界.(3) 有界数列也可以这样叙述:若存在一个正数M,使得,2,1nM|x|n,就称nx是有界数列.或者也可以这么说,若存在原点O的一个M 邻域O (O, M),使得所有M,OOx n,就称nx是有界数列,这种叙述和上面所给出的定义显然是等价的.3.什么是单调有界数列? 设nx是一个数列, 如果,xxxxn321我们就说这个数列是单调增加( 上...

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