椭圆典型例题一、已知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。例 1：已知椭圆的焦点是F1(0，－ 1)、F 2(0,1)，P 是椭圆上一点，并且PF 1＋PF2＝2F1F2，求椭圆的标准方程。解： 由 PF1＋PF2＝2F1F2＝2×2＝4，得 2a＝4.又 c＝1，所以 b2＝3. 所以椭圆的标准方程是 y24 ＋x23 ＝1. 2．已知椭圆的两个焦点为F1(－1,0)，F 2(1,0)，且 2a＝10，求椭圆的标准方程．解： 由椭圆定义知c＝1，∴ b＝52－ 1＝24. ∴椭圆的标准方程为x225＋ y224＝1.二、未知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。例： 1. 椭圆的一个顶点为02，A，其长轴长是短轴长的2 倍，求椭圆的标准方程．解：（1）当02，A为长轴端点时，2a，1b，椭圆的标准方程为：11422yx；（2）当02，A为短轴端点时，2b，4a，椭圆的标准方程为：116422yx；三、椭圆的焦点位置由其它方程间接给出，求椭圆的标准方程。例．求过点 (－3,2)且与椭圆 x29＋y24＝ 1 有相同焦点的椭圆的标准方程．解： 因为c2＝9－4＝ 5，所以设所求椭圆的标准方程为x2a2＋y2a2－5＝1. 由点 ( －3,2) 在椭圆上知9a2＋4a2－ 5＝1，所以 a2＝15. 所以所求椭圆的标准方程为x215＋ y210＝1.四、与直线相结合的问题，求椭圆的标准方程。例：已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与直线01yx交于 A 、 B 两点， M 为 AB 中点， OM 的斜率为 0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程．解： 由题意，设椭圆方程为1222yax，由101222yaxyx，得021222xaxa，∴222112aaxxxM，2111axyMM，4112axykMMOM，∴42a，∴1422yx为所求．五、求椭圆的离心率问题。例 1 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率．解：31222cac∴223ac，∴3331e．例 2 已知椭圆19822ykx的离心率21e，求 k 的值．解： 当椭圆的焦点在x 轴上时，82ka，92b，得12kc．由21e，得4k．当椭圆的焦点在y 轴上时，92a，82kb，得kc12．由21e，得4191k，即45k．∴满足条件的4k或45k．六、由椭圆内的三角形周长、面积有关的问题例： 1.若△ ABC 的两个顶点坐标A(－4,0)，B(4,0)，△ ABC 的周长为 18，求顶点 C 的轨迹方程。解：顶点 C 到两个定点 A，B 的距离之和为定值10，且大于两定点间的距离，因此顶点 C 的轨迹为椭圆，并且2a＝10，所以 a＝5,2c＝8，所以 c＝4，所以b2＝a2－c2＝9，故顶点 C 的轨迹方程为 x225＋y29＝1.又 A、B、C 三点构成三角形，所以 y≠0.所以顶点 C 的轨迹方程为...
