第页1 正弦定理和余弦定理要点梳理1．正弦定理其中 R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为：(1)a∶b∶c＝sin A ∶sin B∶sin C ；(2)a＝ 2Rsin A ， b＝2Rsin B ，c＝2Rsin C ；(3)sin A ＝ a2R，sin B ＝ b2R，sin C ＝ c2R等形式，以解决不同的三角形问题．2．三角形面积公式S△ABC ＝12absin C ＝12bcsin A ＝12acsin B ＝abc4R ＝12(a＋b＋c) ·r(r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R、r. 3．余弦定理：222222222abc2bccos Abac2accos Bcab2abcos C＝＋ －，＝＋－，＝＋－. 余弦定理可以变形为：cos A＝222bca2bc，cos B＝222acb2ac，cos C＝222abc2ab. 4．在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1) 已知两角及任一边，求其它边或角；(2)已知两边及一边的对角，求其它边或角．情况 (2)中结果可能有一解、二解、无解，应注意区分．余弦定理可解决两类问题：(1) 已知两边及夹角或两边及一边对角的问题；(2)已知三边问题．基础自测1．在 △ABC 中，若 b＝1，c＝3，C＝2π3 ，则 a＝. 2．已知 △ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，若 c＝2，b＝6，B＝ 120°，则 a＝________. 3．在 △ABC 中，若 AB ＝5， AC＝5，且 cos C＝ 910，则 BC ＝________ . 4．已知圆的半径为4， a、b、c 为该圆的内接三角形的三边，若abc＝162，则三角形的面积为() A．22 B．8 2 C.2 D.22题型分类深度剖析题型一利用正弦定理求解三角形例 1 在△ ABC中， a＝3，b＝2，B＝45° . 求角 A、C和边 c. 2sinsinsinabcRABC第页2 变式训练 1 已知 a，b，c 分别是△ ABC 的三个内角A，B，C 所对的边，若a＝1，b＝3，A＋ C＝ 2B，则 A＝题型二利用余弦定理求解三角形例 2在△ ABC 中， a、b、 c 分别是角A、B、C 的对边，且 cos Bcos C＝b2ac. （1）求角 B 的大小；(2)若 b＝13，a＋c＝4，求△ ABC 的面积．变式训练 2 已知 A、B、C 为△ ABC 的三个内角，其所对的边分别为a、b、c，且2 A2cos+cos A=02.(1)求角 A 的值；(2)若 a＝2 3，b＋ c＝4，求△ ABC 的面积．题型三正、余弦定理的综合应用例 3.在△ABC 中， a、b、c 分别是角A、B、C 的对边222 2(sinsin)()sin,ACabB已知△ABC 外接圆半径为2 .（1）求角 C 的大小；（2）求 △ABC面积的最大值 . 变式训练 3 在△ ABC 中，内角 A，B，C 所对的边长分别是a，b，c. (1) 若 c＝ 2，C＝π3，且△ ABC 的面积为3，求 a，b 的值；(2) 若 sin C＋ sin(B－A)＝ sin 2A，试判断△ ABC 的形状．例 4 设△ ABC 的内角 A、 B、 C 所对的边分别为a、b、c，且 acosC＋12c＝b. (1)求角 A 的大小；(2)若 a＝1，求△ ABC 的周长 l 的取值范围．
