§5.1非简并定态微扰理论VIP免费

§5 .1 非简并定态微扰理论 重点： 微扰的条件，微扰能量二级修正的求解 （一）基本方程 假设体系的哈密顿算符H 不显含时间，所以体系有确定的能量，而且可分为两部分：一部分是 ，表示体系未受微扰的哈密顿算符；另一部分是 ，是加于 上的微扰 (5.1-1) 以 和 表示 的本征函数与相应的本征值，对未受扰的体系，薛定谔方程 （ 5.1-2） 的解是已知的，对于被微扰的体系有 （ 5.1-3a） 即 （ 5.1-3b） （ 5.1-4） 并在最后运算结果令 ，利用（5 .1 -4 ），则（5 .1 -3 b ）可写成 （5 .1 -5 ） 由于 、En都和微扰有关，可把它们看作是表征微扰程度参数 的函数，将它们展为 的幂级数。 （5 .1 -6 ） （5 .1 -7 ） 式中 、 依次是体系未受微扰时的能量和波函数，称为零级近似能量和零级近似波函数， 和 是能量和波函数的一级修正，等等。 将（5 .1 -6 ），（5 .1 -7 ）式代入（5 .1 -5 ）式中，得 （5 .1 -8 ） 空虚等式两边 同次幂的系数应相等，由此得到下面一系列方程： （5 .1 -9 ） （5 .1 -1 0 ） （5 .1 -1 1 ） 将 省去，为此在（5 .1 -4 ）式中令 ，得出 ，故可把 ，把 ， 理解为能量和波函数的一级修正。 （二）一级微扰 （1 ）能量的一级修正 为了求 ，以 左乘（5 .1 -1 0 ）式两边，并对整个空间积分 （5 .1 -1 2 ） 注意 是厄密算符， 是实数，则上式左边 （5 .1 -1 3 ） 于是由（5 .1 -1 2 ）式，注意到 的正交归一性，得到 （5 .1 -1 4 ） 即能量的一级修正值 等于 在 态中的平均值。 （2 ）波函数的一级修正 已知 ，由（5 .1 -1 0 ）式可求得 。为此我们将 按 的本征函数系展开 （5 .1 -1 5 ） 在上式中，若决定 ，便可求得 。为此，将上式代入（5 .1 -1 0 ）式，并注意 ，得 以 左乘上式两边后，对整个空间积分，并注意到 的正交归一性： 得到 （5.1-16） 令 （5.1-17） 称为微扰矩阵元，于是由（5.1-16）式可得 （5.1-18） 代入（5.1-15）式，得 （5.1-19） 上式求和号上角加撇表示求和时除去m=n的项。 （三）二级微扰 为了求得量的二级修正，类似求一级微扰的方法，将（5.1-15）代入（5.1-11）式，并用 左乘（5.1-11）式两边后，对整个空间积分得 这里应用了 的正交归一性。和（ 5.1-13）式一样，上式左边为零，右边第二项由于 也为零，于是有...