《数学分析》第十七章多元函数微分学VIP专享VIP免费

151 第十七章 多元函数微分学 ( 1 6 时 ) §1 可微性 ( 4 时 ) 一． 可微性与全微分： 1． 可 微性 ： 由 一 元 函 数 引 入 .))()((22yx亦 可 写 为yx, ) , (yx) 0 , 0 (时) , () 0 , 0 (. 2． 全微分: 例 1 考查函数x yyxf),(在点) , (00yx处的可微性. [1]P105 E1 二 . 偏导数: 1. 偏导数的定义、记法: 2. 偏导数的几何意义: [1]P109 图案17— 1. 3. 求偏导数: 例 2 , 3 , 4 . [1]P142— 143 E2 , 3 , 4 . 例 5 设 . 0 , 0, 0 ,),(22222223yxyxyxyxyxf 证明函数),(yxf在点) 0 , 0 (连续 , 并求) 0 , 0 (xf和) 0 , 0 (yf. 证 )s i nc o s(l i m),(l i m2320s i n,c o s)0,0(),(       yxyxyxf )0,0(0)s i nc o s(l i m230f. ),(yxf在点) 0 , 0 (连续 . ) 0 , 0 (xf0||l i m)0,0()0,(l i m300xxxxfxfxx, ) 0 , 0 (yf||lim)0,0(),0(lim200yyyyfyfyy 不存在 . Ex [1]P116— 117 1⑴—⑼，2 — 4 . 152 三 . 可微条件: 1. 必要条件: Th 1 设) , (00yx为 函 数),(yxf定 义 域 的 内 点 .),(yxf在 点) , (00yx可 微  ) , (00yxfx和) , (00yxfy存在, 且 ),(00),(00yxdfdfyx) , (00yxfxx) , (00yxfyy . (证 ) 由于dyydxx , ,微分记为),(00 yxdf) , (00yxfxdx) , (00yxfydy . 定理1 给出了计算可微函数全微分的方法. 两个偏导数存在是可微的必要条件 , 但不充分. 例 6 考查函数 0 , 0, 0 , ),(222222yxyxyxxyyxf在原点的可微性. [1]P110 E5 . 2. 充分条件: Th 2 若函数),(yxfz 的偏导数在的某邻域内存在, 且xf 和yf 在点) , (00yx处连续 . 则函数f 在点) , (00yx可微. (证 ) [1]P111 Th 3 若),(yxfy在 点) , (00yx处 连 续 , ),(yxfx点) , (00yx存 在 , 则 函 数f 在 点) , (00yx可微. 证 fyyxxf) , (00) , (00yx  ) , () , () , () , (00000000yxfyxxfyxxfyyxxf 0 1,0 ),() , (0000...