求极限的方法及例题总结

1 1．定义：说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证明，例如： ；5)13(lim2xx（2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。利用导数的定义求极限这种方法要求熟练的掌握导数的定义。2．极限运算法则定理 1 已知)(limxf，)(limxg都存在，极限值分别为A，B，则下面极限都存在，且有（1）BAxgxf)]()(lim[（2）BAxgxf)()(lim（3）)0(,)()(lim成立此时需BBAxgxf说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。. 利用极限的四则运算法求极限这种方法主要应用于求一些简单函数的和、乘、积、商的极限。通常情况下，要使用这些法则，往往需要根据具体情况先对函数做某些恒等变形或化简。2 8.用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限例 1 1213lim1xxx解：原式 =43)213)(1(33lim)213)(1(2)13(lim1221xxxxxxxx。注：本题也可以用洛比达法则。例 2 )12(limnnnn解：原式 =2311213lim12)]1()2[(limnnnnnnnnnn分子分母同除以。例 3 nnnnn323)1(lim解：原式11)32(1)31(lim3nnnn上下同除以。3．两个重要极限（1）1sinlim0xxx（2）exxx10)1(lim；exxx)11(l i m3 说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身， 还应能够熟练运用它们的变形形式，例如：133sinlim0xxx，exxx210)21(lim，exxx3)31(lim；等等。利用两个重要极限求极限例 5 203cos1limxxx解：原式 =61)2(122sin2lim32sin2lim220220xxxxxx。注：本题也可以用洛比达法则。例 6 xxx20)sin31(lim解：原式 =6sin6sin310sin6sin310])sin31[(lim)sin31(limexxxxxxxxxx。例 7 nnnn)12(lim解：原式 =313311331])131[(lim)131(limennnnnnnnnn。4．等价无穷小定理 2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。定理 3 当0x时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有：x ～xsin～xtan～xarcsin～xarctan～)1ln(x ～1xe。说明：当上面每个函数中的自变量x 换成)( xg时（0)( xg），仍有上面的等价关系成立，例如：当0x时，13 xe～x3；)1ln(2x～2x。定理 4 如果函数)(),(),(),(11xgxfxgxf都是0xx时的无穷小，且)( xf～)(1 xf，)( xg～)(1 xg， 则 当)()(lim110xgxfxx存 在 时 ，)()(lim0xgxfxx也 存 在 且 等 于4 )( xf)()(lim110xgxfxx，即)()(lim0xgxfxx=)()(lim110xgxfxx。利用等价无穷...