- 1 - - 1 -1 求递推数列通项公式的十种策略例析递推数列的题型多样，求递推数列的通项公式的方法也非常灵活，往往可以通过适当的策略将问题化归为等差数列或等比数列问题加以解决，亦可采用不完全归纳法的方法，由特殊情形推导出一般情形，进而用数学归纳法加以证明，因而求递推数列的通项公式问题成为了高考命题中颇受青睐的考查内容。笔者试给出求递推数列通项公式的十种方法策略，它们是：公式法、累加法、累乘法、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法、不动点法、 特征根的方法。仔细辨析递推关系式的特征，准确选择恰当的方法，是迅速求出通项公式的关键。一、利用公式法求通项公式例 1 已知数列}a{n 满足nn1n23a2a，2a1，求数列}a{n的通项公式。解：nn1n23a2a两边除以1n2，得232a2ann1n1n，则232a2ann1n1n，故数列}2a{nn是以1222a11为首，以23 为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得23)1n(12ann，所以数列}a{n的通项公式为nn2)21n23(a。评注：本题解题的关键是把递推关系式nn1n23a2a转化为232a2ann1n1n，说明数列}2a{nn是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出23)1n(12ann，进而求出数列}a{n的通项公式。二、利用累加法求通项公式例 2 已知数列}a{n 满足1a1n2aa1n1n，，求数列}a{n的通项公式。解：由1n2aan1n得1n2aan1n则112232n1n1nnna)aa()aa()aa()aa(a1)1n(2n)1n(21)1n(]12)2n()1n[(21)112()122(]1)2n(2[]1)1n(2[所以数列}a{n的通项公式为2nna评注：本题解题的关键是把递推关系式1n2aan1n转化为1n2aan1n，进而求出112232n1n1nna)aa()aa()aa()aa(，即得数列}a{n的通项公式。例 3 已知数列}a{n 满足3a132aa1nn1n，，求数列}a{n的通项公式。解：由132aann1n得132aann1n则112232n1n1nnna)aa()aa()aa()aa(a3)1n()3333(23)132()132()132()132(122n1n122n1n- 2 - - 2 -2 所以1n32n31332annn评 注 ： 本 题 解 题 的 关 键 是 把 递 推 关 系 式132aann1n转 化 为132aann1n，进而求出112232n1n1nna)aa()aa()aa()aa(，即得数列}a{n 的通项公式。例 4 已知数列}a{n 满足3a132a3a1nn1n，，求数列}a{n 的通项公式。解：132a3ann1n两边除以1n3，得1nnn1n1n31323a3a，则1nnn1n1n31323a3a，故3a)3a3a()3a3a()3aaa()aa3a(3a111223n3n2n2n2n2n1n1n1n1nnnnn33)3132()3132()3132()3132(22n1nn1)3131313131(3)1n(222n1nnn因此n1nnnn321213n2131)31(313)1n(23a，则213213n32annn评...
