求轨迹方程的常用方法例题及变式

求轨迹方程的常用方法：题型一 直接法此法是求轨迹方程最基本的方法，根据所满足的几何条件，将几何条件)}(|{MPM直接翻译成yx,的形式0),(yxf，然后进行等价变换，化简0),(yxf，要注意轨迹方程的纯粹性和完备性，即曲线上没有坐标不满足方程的点，也就是说曲线上所有的点适合这个条件而毫无例外（纯粹性） ；反之，适合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏（完备性）。例 1 过点)3,2(A任作互相垂直的两直线AM 和 AN ，分别交yx,轴于点NM ,，求线段 MN 中点P 的轨迹方程。解：设 P 点坐标为),(yxP，由中点坐标公式及NM ,在轴上得)2,0(yM，)0,2( xN),(Ryx120322230yx)1(x，化简得01364yx)1(x当1x时，)3,0(M，)0,2(N，此时 MN 的中点)23,1(P它也满足方程01364yx，所以中点 P 的轨迹方程为01364yx。变式 1 已知动点( ,)M x y 到直线:4lx的距离是它到点(1,0)N的距离的 2 倍。（1）求动点 M 的轨迹 C 的方程；（2）过点(0,3)P的直线 m 与轨迹 C 交于,A B 两点。若 A 是 PB的中点，求直线m 的斜率。题型二 定义法圆锥曲线定义所包含的几何意义十分重要，应特别重视利用圆锥曲线的定义解题，包括用定义法求轨迹方程。例 2 动圆 M 过定点)0,4(P，且与圆08:22xyxC相切，求动圆圆心M 的轨迹方程。解：根据题意4||||||MPMC，说明点 M 到定点PC、的距离之差的绝对值为定值，故点M 的轨迹是双曲线。2a，4c故动圆圆心 M 的轨迹方程为112422yx变式 2 在ABC△中，24BCACAB，，上的两条中线长度之和为39，求ABC△的重心的轨迹方程．解：以线段BC 所在直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，如图1， M 为重心，则有239263BMCM．M∴点的轨迹是以BC，为焦点的椭圆，其中1213ca，．225bac∴．∴所求ABC△的重心的轨迹方程为221(0)16925xyy题型三相关点法此法的特点是动点),(yxM的坐标取决于已知曲线C 上的点)','(yx的坐标，可先用yx,来表示',' yx，再代入曲线C 的方程0),(yxf，即得点 M 的轨迹方程。例 3 如图，从双曲线122yx上一点 Q 引直线2yx的垂线，垂足为N ，求线段 QN 的中点P 的轨迹方程分析：从题意看动点P 的相关点是 Q ， Q 在双曲线上运动，所以本题适合用相关点法。解：设动点 P 的坐标为),(yx，点 Q 的坐标为),(11 yx，则点 N 的坐标为)2,2(11yyxxN 在直线2yx上，22211yyxx⋯①又P Q 垂直于直线2yx，111xxyy，即011xyyx⋯②由①②解得123211212311yxyyxx...