第 5 讲数列的综合应用一、填空题1．已知各项均不为0 的等差数列 {an} ，满足 2a3－ a27＋2a11＝0，数列 {bn} 是等比数列，且b7＝a7，则 b6b8＝________. 解析因为 {an} 为等差数列，所以a3＋a11＝ 2a7，所以已知等式可化为4a7－a27＝0，解得 a7＝4 或a7＝0(舍去 )，又 {bn} 为等比数列，所以b6b8＝ b27＝a27＝16. 答案16 2．在数列 {an} 中， a1＝1，a2＝2，an＋2－an＝1＋(－1)n(n ∈N*) ，则 S100＝________. 解析n 为奇数时， a1＝ a3＝a5＝⋯＝a99＝1；n 为偶数时， a2＝2， a4＝4，a6＝6，⋯ ，a100＝2＋49×2＝100. 所以 S100＝(2＋4＋6＋⋯＋100)＋50＝＋2＋50＝2 600. 答案2 600 3．各项均为正数的等比数列{an} 的前 n 项和为 Sn，若 S10＝ 2，S30＝14，则 S40＝________. 解析设 S20＝x，S40＝y，则由题意，得2，x－2,14－x，y－ 14 成等比数列．于是由 (x－2)2＝2(14－x)及 x>0 ，得 x＝6，所以 y－14＝－x－2＝824 ＝16，y＝30. 答案30 4． 等比数列 {an} 中， a1＝1，an＝an－1＋an－22(n＝3,4，⋯) ，则 {an} 的前 n 项和为 ________．解析设 an＝qn－ 1，则由 an＝an－1＋an－22，得 q2＝1＋q2，解得 q＝ 1 或 q＝－ 12. 所以 an＝1 或 an＝ －12 n－1，从而 Sn＝n 或 Sn＝1－ －12 n1＋12＝23 1－ －12 n . 答案n 或23 1－ －12 n5．对正整数n，若曲线 y＝xn(1－x)在 x＝2 处的切线与y 轴交点的纵坐标为an，则数列ann＋1 的前n 项和为 ________．解析由题意，得y′＝ nxn－1－(n＋1)xn，故曲线 y＝xn(1－x) 在 x＝2 处的切线的斜率为k＝n2n－1－(n＋1)2n，切点为 (2，－2n)，所以切线方程为y＋2n＝k(x－2)．令 x＝ 0 得 an＝(n＋1)2n，即 ann＋1＝2n，则数列ann＋1 的前 n 项和为 2＋22＋23＋⋯＋2n＝2n＋ 1－2. 答案2n＋1－2 6．在数列 {an} 中，若 a2n－a2n＋1＝p(n ≥1，n∈N* ，p 为常数 )，则称 {an} 为“等方差数列 ”，下列是对 “等方差数列 ”的判断：①若 {an} 是等方差数列，则{a2n}是等差数列；②{( －1)n} 是等方差数列；③若 {an} 是等方差数列， 则{akn}(k ∈N* ，k 为常数 )也是等方差数列． 其中真命题的序号为________(将所有真命题的序号填在横线上)．解析①正确，因为a2n－a2n＋1＝p，所以 a2n＋ 1－a2n＝－ p，于是数列 {a2n} 为等差数列．②...
