第 6 讲与圆有关的定点、定值、最值与范围问题一、填空题1．已知实数 x，y 满足y≥0，x－y≥0，2x－y－2≥0，则点 (x，y)到圆 (x＋2)2＋(y－6)2＝1 上点的距离的最小值是________．答案4 2－1 2．已知 x，y 满足 x2＋y2－4x－6y＋12＝0，则 x2＋ y2 最小值为 ________．解析法一点(x，y)在圆 (x－2)2＋(y－3)2＝1 上，故点 (x，y)到原点距离的平方即x2＋y2 最小值为(13－1)2＝ 14－2 13. 法二设圆的参数方程为x＝2＋cos α，y＝3＋sin α则 x2＋y2＝14＋4cos α＋6sin α，所以 x2＋ y2 的最小值为14－42＋62＝14－213. 答案14－2 13 3．圆 C 的方程为 (x－2)2＋y2＝4，圆 M 的方程为 (x－2－5cos θ )2＋(y－5sin θ )2＝1( θ∈R)．过圆 M上任意一点P 作圆 C 的两条切线PE，PF，切点分别为E， F，则 PE→ ·PF→ 的最小值是 ________．解析如图所示，连接CE，CF.由题意，可知圆心M(2 ＋5cos θ，5sin θ )，设x＝2＋5cos θ，y＝5sin θ，则可得圆心M 的轨迹方程为 (x－2)2＋y2＝25，由图，可知只有当M ，P，C 三点共线时，才能够满足PE→ ·PF→最小，此时 |PC|＝4，|EC|＝2，故|PE|＝|PF|＝2 3，∠ EPF＝60° ，则PE→ ·PF→ ＝(23)2 ×cos 60 °＝6. 答案6 4．直线2ax＋by＝1 与圆 x2＋y2＝1 相交于 A，B 两点 (其中 a，b 是实数 )，且△ AOB 是直角三角形(O 是坐标原点 )，则点 P(a，b)与点 (0,1)之间的距离的最大值为________．解析△AOB 是直角三角形等价于圆心(0,0)到直线2ax＋by＝1 的距离等于22 ，由点到直线的距离公式，得12a2＋b2＝22 ，即 2a2＋b2＝2，即 a2＝1－b22 且 b∈[－2，2]．点 P(a，b)与点 (0,1)之间的距离为d＝a2＋－＝12b2－ 2b＋2，因此当b＝－2时， d 取最大值，此时dmax＝3＋2 2＝2＋1. 答案2＋1 5．已知 P 是直线 3x＋ 4y＋8＝ 0 上的动点， PA、PB 是圆 x2＋y2－2x－2y＋1＝0 的切线， A、 B 是切点， C 是圆心，那么四边形PACB 面积的最小值是________．解析如图所示，由题意，圆x2＋y2－2x－2y＋ 1＝0 的圆心是 C(1,1) ，半径为 1，由 PA＝PB 易知四边形PACB 的面积＝ 12(PA＋PB)＝ PA，故 PA 最小时，四边形PACB 的面积最小． 由于 PA＝PC2－1，故 PC 最小时 PA 最小，此时 CP 垂直于直线3x＋ 4y＋8＝ 0，P 为垂足，PC＝|3＋4＋8|5＝3，PA＝PC2－1＝22...
