第 2 讲双曲线一、填空题1．若双曲线 x2a2－y23 ＝1(a＞0)的离心率为2，则 a＝ ________. 解析 b＝3，∴ c＝a2＋3，∴ ca＝a2＋3a＝2，∴ a＝1. 答案1 2．若双曲线 x2a2－y2b2＝1(a＞0， b＞0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为________．解析焦点 (c,0)到渐近线 y＝bax 的距离为bca2＋b2＝b，则由题意知b＝ 2a，又 a2＋b2＝c2，∴ 5a2＝c2，∴离心率e＝ca＝5. 答案5 3．已知双曲线 x2a2－y25 ＝1 的右焦点为 (3,0)，则该双曲线的离心率等于________．解析 右焦点为(3,0)，∴ c＝3，又 c2＝a2＋ b2＝a2＋5＝9，∴ a2＝4， a＝2，∴ e＝ca＝32. 答案324．已知双曲线x2－y2＝ 1，点 F1，F2 为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则 |PF1|＋|PF2|的值为 ________．解析设|PF1|＝m， |PF2|＝n，则|m－n|＝2，m2＋n2＝2，解得 mn＝2，∴(m＋n)2＝m2＋n2＋2mn＝ 8＋4＝12，∴m＋n＝2 3，即 |PF1|＋|PF2|＝23. 答案2 3 5．设 P 为直线 y＝b3ax 与双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)左支的交点， F1 是左焦点， PF1 垂直于 x 轴，则双曲线的离心率e＝________. 解析 PF1⊥x 轴，∴ xP＝－ c，代入 x2a2－y2b2＝1，得 yp＝±b2a ， P 在 y＝ b3ax 上，∴ yp＝－b2a ，∴3b＝c，∴9b2＝c2，∴9(c2－a2)＝c2，∴c2a2＝98，∴ca＝324 ，∴ e＝3 24 . 答案3 246． 已知双曲线x2a2－ y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程是y＝3x，它的一个焦点与抛物线y2＝16x 的焦点相同，则双曲线的方程为________．解析由已知得ba＝3，a2＋b2＝16，解之得a2＝4，b2＝12，∴双曲线方程为x24 －y212＝1. 答案x24 －y212＝1 7． 过双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段OF (O 为原点 )的垂直平分线上，则双曲线的离心率为________．解析如图所示，不妨设F 为右焦点，过F 作 FP 垂直于一条渐近线，垂足为P，过 P 作 PM⊥OF 于 M. 由已知得 M 为 OF 的中点，由射影定理知|PF|2＝|FM||FO|，又 F(c,0)，渐近线方程为bx－ay＝0，∴|PF|＝bcb2＋a2＝b，∴b2＝c2·c，即 2b2＝ c2＝a2＋b2，∴a2＝b2，∴ e＝ca＝1＋b2a2＝2. 答案2 8．设 F1，F2 是双曲线 x2－y224＝1 的两个焦点， P 是双曲线上的一点，且3PF1＝4PF2，则△ PF1F2的面积是 ________．解析由PF1－PF2＝2，3PF1＝4PF2...
