第 1 页含参的一元二次方程讲义含参的一元二次方程知识精讲一．含参数的一元二次方程含参数的一元二次方程是指未知数系数或者常数项含有参数的一元二次方程，解此类方程时要根据参数值和判别式的取值进行分类讨论，另外，利用方程解的情况来求解参数的取值范围或者是由参数的取值范围判断方程根的情况．二．一元二次方程的整数根对于一元二次方程20axbxc(0)a的实根情况，可以用判别式24bac 来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质．方程有整数根的条件：如果一元二次方程20axbxc(0)a有整数根，那么必然同时满足以下条件：1.24bac 为完全平方数；2.242bbacak 或242bbacak ，其中 k 为整数．以上两个条件必须同时满足，缺一不可．另外，如果只满足判别式为完全平方数，则只能保证方程有有理根( 其中 a 、 b 、 c 均为有理数) ．例题讲解判别式与解的关系例1.1.1已 知 a ， b ， c 为 正 数 ， 若 二 次 方 程20axbxc有 两 个 实 数 根 ， 那 么 方 程22220a xb xc的根的情况是（）A．有两个不相等的正实数根B．有两个异号的实数根C．有两个不相等的负实数根D．不一定有实数根【答案】 C 【解析】22220a xb xc的42222422ba cbacbac ， 二次方程20axbxc有两个实数根，∴240bac，∴220bac，∴方程有两个不相等的实数根，而两根之和为负，两根之积为正．故有两个负根．故选C．例 1.1.2 解关于 x 的方程：222238213150a xaa xaa【答案】132xa，251xa【解析】分类讨论，当0a时，原方程无解；当0a时，原方程是一元二次方程，解得132xa，251xa例 1.1.3 设方程24xax只有 3 个不相等的实数根，求a 的取值和相应的3 个根．第 2 页【答案】4a，相应求得方程根为2 ，22 2 ； 2， 22 2 ．【解析】方程等价于以下两个方程：240xax①，240xax②，两方程无相同的根，由于 原 方 程 只 有3 个 不 相 等 的 实 根 ， 故 必 有 且 只 有 方 程 ① 或 ② 有 重 根 ，21160a，22160a，由于12 ，故只可能是20 ，即4a，相应求得方程根为2 ，222 ；2， 222 ．特殊解问题例 1.2.1 已知关于 x 的方程220mxxm（m≠0）（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）如果方程的两个实数根都是整数，求整数m的值．【答案】（ 1）见解析...
