清华大学复分析春期中考试题目答案

1 / 4 A 卷一、填空题（每空4 分，共 32 分）1.以下集合BC 为单连通域。A、22( , ) :11,1x yxxy；B、 ( , ):01,01x yxy；C、:2:11zzzz；D、(0,1)(0,1)B。2.幂级数01nnzn的收敛半径是1 ，它的和函数是：log(1)zz。3.设 zxiy ，22( )f zxy 。那么( )f z 在原点处是否可导是。（填“是”或“否”）4.如果分式线性变换S 把: Re0zz映为:1zz，并且(1)0S，'(1)0S。那么 S 的表达形式是( )S z：11zz。5.在上取多值函数2( )1f zz的单值解析分支( ),g z使得(1)2g。那么( 1)g2 。这里表示虚轴上从i 到 i 的直线段。6.若( , )u x y 是区域 U 上具有连续二阶偏导数的调和函数，那么( ,)u x y 是否具有各阶连续偏导数？是。（填“是”或“否” ）7.多项式1009998( )101...1f zzzzz在单位圆盘 || 1z有100 个根。二、计算题（共38 分）1. (９分 ))π0(,1zcos22||22zdzzz；解：1zcos22z的零点为ie，都位于2z内。由留数定理：积分22222(,)(,)2cos z12cosz1iizziReseResezz222iiiiiieeieeee4c o si。2 / 4 2. (9 分)20cos34x dxx；解：直接应用书本的结论：积分21cos324x dxx321 Re 2,224izeiResiz64e。3. (10 分)1022 (1) (1)(3)zdzzzz；解：直接应用留数定理时，在1z处的留数难以计算，所以作如下考虑：令3R，则1 021 02(1 )(1 ) (3 )(1 )(1) (3 )zRzRdzdzzzzRRR10220,(1) (1)(3)RRRRR，又由于积分102(1) (1)(3)zRdzzzz与 R 无关，所以该积分为0。另一方面，应用留数定理知：1 021 022(1 )(1) (3 )(1 )(1 ) (3 )zRzd zd zzzzzzz10212,3(1) (1)(3)iReszzz，所以1 021 02212, 3(1 )(1 ) (3 )(1 )(1 ) (3 )zd zi R e szzzzzz1025i。4. (1０分 )01( )knzz Pz dzzz，这里01z， 0kn ，01( )...nnnP zaa za z 。解：因为00011( )kkmnnmmzzz P zz zdzadzzzzz，可对( )nP z 逐项计算积分。3 / 4 0011kmm kzzz zzdzdzzzzz，现在分情形如下：如果 mk ，则00111()m kk mzzzdzdzzzzzz01,1()k mzRdz Rzzz，令 R可见上面的积分趋于0，所以010kmzz zdzzz。如果 mk ，则000112kmm km kzzz zzdzdzizzzzz。综上所述，001( )2knm knmm kzz P z dzia zzz。三、证明题（每小题10 分，共 30 分）1、令: Im0Hzz为上半平面，(0,) 是一个给定的实数。请做出从单连通区域: 0iHe到上半平面 H的解析同胚。解：第一步：...