关于超几何分布和二项分布小区别VIP专享VIP免费

关于超几何分布和二项分布的小题目徐峰在教学过程中发现学生在学习完超几何分布和二项分布以后，学生不能正确的理解好什么是超几何分布（古典概型利用组合数计数）、什么是二项分布（利用独立性，互斥性）及其区别.下面我通过几个例子说明一下两者的区别超几何分布：在产品质量的不放回抽检中，若N件产品中有M件次品，抽检n件时所得次品数X=k则P(X=k)此时我们称随机变量X服从超几何分布（hypergeometricdistribution）1）超几何分布的模型是不放回抽样2）超几何分布中的参数是M,N,n上述超几何分布记作X~H(n，M，N)。二项分布：二项分布（BinomialDistribution），即重复n次的伯努力试验（BernoulliExperiment）,用ξ表示随机试验的结果.如果事件发生的概率是P,则不发生的概率q=1-p，N次独立重复试验中发生次的概率是上述二项分布记作下面我通过几个例子说明一下两者的区别【例1】某人参加一次英语考试，已知在备选题的10道试题中能答出其中的4道题，规定每次考试从备选题中随机抽取3题进行测试，求答对题数的分布列？解：由题意得，，，.服从参数为,,的超几何分布.故的分布列点评：这是一道超几何分布的题目，学生在做的时候容易把它看到是二项分布问题，把事件发生的概率看做是0.4。【例2】甲乙两人玩秒表游戏，按开始键，然后随机按暂停键，观察秒表最后一位数，若出现，，，则甲赢，若最后一位出现，，，则乙赢，若最后一位出现，是平局.玩三次，记甲赢的次数为变量，求的分布列解：由题意得：，，，故的分布列点评：学生这是一道二项分布的题目，学生容易看成超几何分布，认为服从,,的超几何分布。【例3】已知一批种子发芽率为0.4现在从中选取三颗进行测试，记其发芽数为，求的分布列。解：由题意得，，，.故的分布列点评：与例2比较这两个题目是完全相同的。二项分布应满足独立重复试验：①每一次试验中只有两种结果（要么发生，要么不发生）.②任何一次试验中发生的概率都一样.③每次试验间是相互独立的互不影响的.例1在抽取过程中可以认为是不放回的抽取，两次抽取之间是有影响的不是独立的。例2、例3在抽取过程中可以认为是有放回的抽取，两次抽取过程中是互不影响的。【例4】（2006·广东，16）某运动员射击一次所得环数的分布列如下：现进行两次射击，以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩，记为.求的分布列？解：由题意得，，，，.故的分布列为点评：学生容易把本题看做是超几何分布，理解成【例5】，本题利用课本上推到二项分布公式的原理中事件的独立性和互斥性。【例5】一个袋中装有10个大小相同的小球，其中标号为7的球2个，标号为8的球3个，标号为9的球3个，标号为10的球2个.从盒中任取两球记较大的一个球的标号为，求的分布列？解：由题意得，，，.当时包含一个球标号为和一个球标号比小，和两个标号都是故的分布列为【例6】一个袋中装有20个大小相同的小球，其中标号为7的球4个，标号为8的球6个，标号为9的球6个，标号为10的球4个.从盒中任取两球记较大的一个球的标号为，求的分布列？答案：点评：【例5】和【例6】虽然球所占的比例相同，但分布列也不同。两次试验都可以看做是不放回的抽取，两次抽取不是相互独立的。对比同学看以看一下下面两道超几何分布问题①袋中有10个完全相同球，其中白球3个，黑球7个，从中,取出2个球记录其中白球个数为，求的分布列.②袋中有20个完全相同球，其中白球6个，黑球14个，从中,取出2个球记录其中白球个数为，求的分布列.【例7】一个袋中装有10个大小相同的小球，其中标号为7的球2个，标号为8的球3个，标号为9的球3个，标号为10的球2个.从盒子中任意取出一个球，放回后第二次再任取一个球，记两次球标号较大的为，求的分布列？方法一：解：，，，.由【例1】中类似的方法方法二：由分步计数原理共计有种取法，当时有种取法.故分布列为点评：【例7】可以看做是又放回的抽取，每次抽取是相互独立的。小结：当抽取的方式从无放回变为有放回，超几何分布变为二项分布，当产品总数N很大时，超几何分布变为二项分布。独立重复试验的实际原型是有放回的抽样检验问题，但在实际应用中，从大批产品中抽取少量样品的不放回检验，可以近似的看做此类型。