1.四边形ABCD 是正方形,△BEF 是等腰直角三角形,∠BEF=90°,BE=EF,连接 DF,G 为DF 的中点,连接 EG,CG,EC. (1)如图 1,若点 E 在 CB 边的延长线上,直接写出 EG 与 GC 的位置关系及的值; (2)将图 1 中的△BEF 绕点 B 顺时针旋转至图 2 所示位置,请问(1)中所得的结论是否仍然成立?若成立,请写出证明过程;若不成立,请说明理由; (3)将图 1 中的△BEF 绕点 B 顺时针旋转α(0°<α<90°),若 BE=1,AB=,当 E,F,D 三点共线时,求 DF 的长及 tan∠ABF 的值. 解:(1)EG⊥CG,=, 理由是:过 G 作 GH⊥EC 于 H, ∠FEB=∠DCB=90°, ∴EF∥GH∥DC, G 为 DF 中点, ∴H 为 EC 中点, ∴EG=GC,GH=(EF+DC)=(EB+BC), 即 GH=EH=HC, ∴∠EGC=90°, 即△EGC 是等腰直角三角形, ∴=; (2) 解:结论还成立, 理由是:如图2,延长EG 到H,使EG=GH,连接CH、EC,过E 作BC 的垂线EM,延长CD, 在△EFG 和△HDG 中 ∴△EFG≌△HDG(SAS), ∴DH=EF=BE,∠FEG=∠DHG, ∴EF∥DH, ∴∠1=∠2=90°-∠3=∠4, ∴∠EBC=180°-∠4=180°-∠1=∠HDC, 在△EBC 和△HDC 中 ∴△EBC≌△HDC. ∴CE=CH,∠BCE=∠DCH, ∴∠ECH=∠DCH+∠ECD=∠BCE+∠ECD=∠BCD=90°, ∴△ECH 是等腰直角三角形, G 为 EH 的中点, ∴EG⊥GC,=, 即(1)中的结论仍然成立; (3) 解:连接BD, AB=,正方形ABCD, ∴BD=2, ∴cos∠DBE==, ∴∠DBE=60°, ∴∠ABE=∠DBE-∠ABD=15°, ∴∠ABF=45°-15°=30°, ∴tan∠ABF=, ∴DE=BE=, ∴DF=DE-EF=-1. 解析: (1)过 G 作 GH⊥EC 于 H,推出 EF∥GH∥DC,求出 H 为 EC 中点,根据梯形的中位线求出 EG=GC,GH=(EF+DC)=(EB+BC),推出 GH=EH=BC,根据直角三角形的判定推出△EGC 是等腰直角三角形即可; (2)延长 EG 到 H,使 EG=GH,连接 CH、EC,过 E 作 BC 的垂线 EM,延长 CD,证△EFG≌△HDG,推出 DH=EF=BE,∠FEG=∠DHG,求出∠EBC=∠HDC,证出△EBC≌△HDC,推出 CE=CH,∠BCE=∠DCH,求出△ECH 是等腰直角三角形,即可得出答案; (3)连接 BD,求出 cos∠DBE==,推出∠DBE=60°,求出∠ABF=30°,解直角三角形求出即可. 2.已知正方形ABCD 和等腰直角三角形BEF,BE=EF,∠BEF=90°,按图 1 放置,使点 E 在 BC上,取 DF 的中点 G...