初二数学压轴几何证明题VIP专享

1.四边形ABCD 是正方形，△BEF 是等腰直角三角形，∠BEF=90°，BE=EF，连接 DF，G 为DF 的中点，连接 EG，CG，EC． (1)如图 1，若点 E 在 CB 边的延长线上，直接写出 EG 与 GC 的位置关系及的值； (2)将图 1 中的△BEF 绕点 B 顺时针旋转至图 2 所示位置，请问(1)中所得的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； (3)将图 1 中的△BEF 绕点 B 顺时针旋转α(0°＜α＜90°)，若 BE=1，AB=，当 E，F，D 三点共线时，求 DF 的长及 tan∠ABF 的值． 解：（1）EG⊥CG，=， 理由是：过 G 作 GH⊥EC 于 H， ∠FEB=∠DCB=90°， ∴EF∥GH∥DC， G 为 DF 中点， ∴H 为 EC 中点， ∴EG=GC，GH=（EF+DC）=（EB+BC）， 即 GH=EH=HC， ∴∠EGC=90°， 即△EGC 是等腰直角三角形， ∴=； （2） 解：结论还成立， 理由是：如图2，延长EG 到H，使EG=GH，连接CH、EC，过E 作BC 的垂线EM，延长CD， 在△EFG 和△HDG 中 ∴△EFG≌△HDG（SAS）， ∴DH=EF=BE，∠FEG=∠DHG， ∴EF∥DH， ∴∠1=∠2=90°-∠3=∠4， ∴∠EBC=180°-∠4=180°-∠1=∠HDC， 在△EBC 和△HDC 中 ∴△EBC≌△HDC． ∴CE=CH，∠BCE=∠DCH， ∴∠ECH=∠DCH+∠ECD=∠BCE+∠ECD=∠BCD=90°， ∴△ECH 是等腰直角三角形， G 为 EH 的中点， ∴EG⊥GC，=， 即（1）中的结论仍然成立； （3） 解：连接BD， AB=，正方形ABCD， ∴BD=2， ∴cos∠DBE==， ∴∠DBE=60°， ∴∠ABE=∠DBE-∠ABD=15°， ∴∠ABF=45°-15°=30°， ∴tan∠ABF=， ∴DE=BE=， ∴DF=DE-EF=-1． 解析： （1）过 G 作 GH⊥EC 于 H，推出 EF∥GH∥DC，求出 H 为 EC 中点，根据梯形的中位线求出 EG=GC，GH=（EF+DC）=（EB+BC），推出 GH=EH=BC，根据直角三角形的判定推出△EGC 是等腰直角三角形即可； （2）延长 EG 到 H，使 EG=GH，连接 CH、EC，过 E 作 BC 的垂线 EM，延长 CD，证△EFG≌△HDG，推出 DH=EF=BE，∠FEG=∠DHG，求出∠EBC=∠HDC，证出△EBC≌△HDC，推出 CE=CH，∠BCE=∠DCH，求出△ECH 是等腰直角三角形，即可得出答案； （3）连接 BD，求出 cos∠DBE==，推出∠DBE=60°，求出∠ABF=30°，解直角三角形求出即可． 2.已知正方形ABCD 和等腰直角三角形BEF，BE=EF，∠BEF=90°，按图 1 放置，使点 E 在 BC上，取 DF 的中点 G...