初等数论期末复习

题目： 一、求同余式的解：111x75(mod321) 二、求高次同余式的解：)105(mod0201132xx。 三、求高次同余式的解: 27100xx(mod 13). 四、计算下列勒让德符号的值:105223, 91563 五、计算下列勒让德符号的值：)593438(，)1847365( 六、韩信点兵：有兵一队，若列成五行纵队，则末行一人；成六行纵队，则末行五人；成七行纵队，则末行四人；成十一行纵队，则末行十人。求兵数。 七、设 ba,是两个正整数，证明: ba,的最大公因子00( , )a baxby,其中00axby 是形如axby( ,x y是任意整数)的整数里的最小正数. 八、证明：存在无穷多个自然数 n，使得 n不能表示为 pa 2（a > 0 是整数，p为素数） 的形式。 九、证明: 若方程 11...0nnnxa xa (0,ina 是整数,1,...,in)有有理数解,则此解必为整数. 十、证明: 若( , )1a b ， 则(,)12ab ab 或 十一、证明：设cba,,，c 无平方因子，cba22，证明：ba。 十二、设 p 是奇素数,1),(pn, 证明: pnnp21 (mod p ). 十三、设 m > 1，模 m 有原根，d 是)(m的任一个正因数，证明：在模 m 的缩系中，恰有)(d 个指数为 d 的整数，并由此推出模 m 的缩系中恰有))((m个原根。 十四、设 g 是模 m 的一个原根，证明：若通过模 ( )m的最小非负完全剩余系, 则 g 通过模 m 的一个缩系。 第一题：求同余式的解：111x75(mod321) 解答： (111,321)3,3 75 同余式有三个解 1 1 17 53 2 1x( m od)333 即 37x25(mod107) 4 x7 5 ( m od 1 0 又x 2775(mod107)99(mod107) 因此同余式的解为x 99,206,313(mod321)。 第二题：求高次同余式的解：)105(mod0201132xx 解答： 解：因,753105 同余方程)3(mod0201132xx的解为),3(mod1x 同余方程)5(mod0201132xx的解为),5(mod3,0x 同余方程)7(mod0201132xx的解为),7(mod6,2x 故原同余方程有4 解。作同余方程组：)3(mod1bx ，)5(mod2bx ，)7(mod3bx ,其中,6,2,3,0,1321bbb 由孙子定理得原同余方程的解为)105(mod100,58,55,13x。 第三题：求高次同余式的解：2x7x 100(mod13) 解答：x 02,x +7x+10=时10； x 12,x +7x+10=时18； x 22,x +7x+10=时28； x 32,x +7x+...