利用仿射变换解决与椭圆有关的高考试题 文⑴谈及利用仿射变换可以解决一些初等几何的问题，可以使问题变得更加简洁、透彻，对笔者启发很大，笔者通过自己的教学实践感觉到利用仿射变换，可以将椭圆的有关问题转化为圆的问题，从而可以借助圆当中的一些性质解决问题，使问题的解决过程大大简化，在利用仿射变换解决相关问题时，主要利用以下几个性质： 性质1 变换后共线三点单比不变（即变换后三点的两个线段的比值和变换前的比值一样）； 性质2 变换后保持同素性和接合性（即变换前直线与曲线若相切，变换后仍相切）； 性质3 变换前后对应图形的面积比不变； 现以一些高考试题为例加以说明。 例1（2008 年全国卷Ⅱ第 22 题）设椭圆中心在坐标原点，A(2,0)，B(0,1)是它的两个顶点，直线y=kx(k>0)与AB 相交于点D，与椭圆相交于E、F 两点 ⑴若DF6ED ，求k 的值； ⑵求四边形AEBF 面积的最大值。 分析：此例按照常规解法较为繁杂，但利用仿射变换将椭圆变换为单位圆，点A、B、D、E、F 分别变换为点A’、B’、D’、E’、F’， 线段E’F’恰为圆的直径，根据性质1，D’分线段E’F’的比与D 分线段EF的比相同，利用圆当中的相交弦定理． ． ． ． ． 求得D’点的坐标，再 反 求出D点坐标，从而很容易求出k 值；利用性质3，可以求得四边形AEBF与四边形A’E’B’F’的面积关系，由于四边形A’E’B’F’面积的最大值较易求出，这样也就很容易求得四边形AEBF 面积的最大值。 解：依题设得椭圆的方程为1y4x22 作仿射变换，令x’=2x ，y’=y，则得仿射坐标系x’O’y’，在此坐标系中，上述椭圆变换为圆x’2+y’2=1，点A、B、D、E、F 分别变换为点A’、B’、D’、E’、F’，且E’F’为圆的直径，E’F’=2，A’(1,0)，B’(0,1) ⑴根据性质1 DF6ED ∴ ''''FD6DE ∴E’D’=712 D’F’=72 E’D’·D’F’=A’D’ ·D’B’ A’D’+D’B’=A’B’=2 ∴A’D’=724 D’B’=723或A’D’=723 D’B’=724 ∴''''BD34DA或''''BD43DA 由定比分点公式可得：D’(7374 , )或 D’(7473 , ) ∴D 点坐标为(7378 , )或(7476 , ) ∴k=83 或 k=32 ⑵设四边形AEBF 的面积为S，四边形A’E’B’F’的面积为S’，E’F’与A’B’的夹角为θ，则S’=sin''''BAFE21=sin2≤2（当θ=2 时取“=”号，此时 F’ (2222 ,)） 由于椭圆的面积为πab=2π，圆的面积为πr2=π 根据性质3 有...
