利用参数求轨迹方程

第 1 页 共 7页 利用参数求轨迹方程 四川江油中学 唐秋明 邮编621700 在高中数学中,我们常常遇到求动点轨迹方程,这个课题是中学数学的一个重要内容。但在有些求轨迹方程问题中,对于动点的坐标x、y 不容易找到直接的关系，而如果选择适当的参数，轨迹的参数方程却较容易求得，所以，利用参数求轨迹方程是解决比较复杂的求曲线方程问题的重要方法。对用参数求轨迹方程，有不少同学感到无从下手，故本文在这里归纳出利用参数求轨迹方程的基本方法，以帮助同学们掌握解体规律，提高解题速度。 由曲线的参数方程{x=f(t)y=g(t) 形式我们可以看出, 曲线的参数方程{x=f(t)y=g(t) 实质上表示的是曲线上的动点坐标(f(t),g(t)),故求曲线的参数方程就是求动点的坐标。因此，根据求动点坐标的不同方式，对求曲线的参数方程有以下解法： 一、 坐标定义法： 这种方法就是充分利用题目中的条件，用坐标的定义，将动点的横纵坐标分别用与 x 轴平行和与 y 轴平行的线段表示，然后根据动点运动时联系这两个线段的变量关系，设置参数建立方程。 例1． 如图，OB 是机器上的曲柄，长是r，绕点O 转动，AB 是连杆，M 是AB 上一点，MA=a，MB=b。当点A 在Ox 上作往返运动， 第 2 页 共 7页 点B 绕找点O 作圆运动时,求点M 的轨迹方程. 探求：由坐标定义，设动点M 的坐标为（x，y），过M 做X 轴的垂线，垂足为M’，则 y=M’M；再过B 作X 轴垂线，垂轴为B’，过M 作BB’的垂线交 BB’于 N，于是，x=OM’=OB’+B’M’，由观察可知：线段 M’M、B’M’及 OB’的长度与∠MAO 的大小相关，所以设∠MAO=θ ，则得曲线的参数方程 s i ns i n)(c o s222aybarbx 二、 配方法 当动点是已知方程的圆锥曲线的中心或顶点时，由于圆锥曲线的中心和顶点均可用配方法求得，所以，对此类问题通常利用配方法求解。 例 2：设曲线09cos8cos9sin6222yxy，当θ 变化时，求Y X O B A M M’ B’ N 第 3 页 共 7页 抛物线顶点的轨迹方程。 探求：因为，将方程配方后就可得抛物线的顶点坐标，故将方程配方为： )cos4(2sin32xy 即得顶点轨迹的参数方程： sin3cos4yx，化为普通方程是： 191622 yx。 三、 公式定义法： 对于可用公式或定义表示的动点的轨迹，我们可以直接利用公式或定义直接表示该动点坐标，然后再根据题意选择参数（确定参数），求...