利用导数求曲线的切线和公切线

利用导数求曲线的切线和公切线 一.求切线方程 【例1】.已知曲线f(x)=x3-2x2+1. (1)求在点P（1,0）处的切线l1的方程； (2)求过点Q（2,1）与已知曲线f(x)相切的直线l2的方程. 提醒：注意是在某个点处还是过某个点！ 二. 有关切线的条数 【例2】．（2014• 北京）已知函数f（x）=2x3﹣3x． （Ⅰ）求f（x）在区间[﹣2，1]上的最大值； （Ⅱ）若过点P（1，t）存在3 条直线与曲线y=f（x）相切，求t 的取值范围； （Ⅲ）问过点A（﹣1，2），B（2，10），C（0，2）分别存在几条直线与曲线y=f（x）相切？（只需写出结论） 【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=2x3﹣3x 得f′（x）=6x2﹣3， 令f′（x）=0 得，x=﹣或x=， f（﹣2）=﹣10，f（﹣）=，f（）=﹣，f（1）=﹣1， ∴f（x）在区间[﹣2，1]上的最大值为． （Ⅱ）设过点P（1，t）的直线与曲线y=f（x）相切于点（x0，y0）， 则y0=2﹣3x0，且切线斜率为k=6﹣3， ∴切线方程为y﹣y0=（6﹣3）（x﹣x0）， ∴t﹣y0=（6﹣3）（1﹣x0），即4﹣6+t+3=0，设g（x）=4x3﹣6x2+t+3， 则“过点P（1，t）存在3 条直线与曲线y=f（x）相切”，等价于“g（x）有 3个不同的零点”． g′（x）=12x2﹣12x=12x（x﹣1）， ∴g（0）=t+3 是 g（x）的极大值，g（1）=t+1 是 g（x）的极小值． ∴g（0）＞0 且g（1）＜0，即﹣3＜t＜﹣1， ∴当过点过点P（1，t）存在3 条直线与曲线y=f（x）相切时，t 的取值范围是（﹣3，﹣1）． （Ⅲ）过点A（﹣1，2）存在3 条直线与曲线y=f（x）相切； 过点B（2，10）存在2 条直线与曲线y=f（x）相切； 过点C（0，2）存在1 条直线与曲线y=f（x）相切． 【例3】．已知函数f（x）=lnax（a≠0，a∈R），． （Ⅰ）当 a=3 时，解关于 x 的不等式：1+ef（x）+g（x）＞0； （Ⅱ）若 f（x）≥g（x）（x≥1）恒成立，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）当 a=1 时，记 h（x）=f（x）﹣g（x），过点（1，﹣1）是否存在函数y=h（x）图象的切线？若存在，有多少条？若不存在，说明理由． 【解答】解：（I）当 a=3 时，原不等式可化为：1+eln3x+＞0； 等价于，解得 x，故解集为 （Ⅱ） 对 x≥1 恒成立，所以， 令， 可得 h（x）在区间[1，+∞）上单调递减， 故 h（x）在 x=1 处取到最大值，故 lna≥h（1）=0，可得 a=1， 故 a 的取值范围为：[1，+∞） （Ⅲ）假设存在这样的切线，设切点 T（x0，）， ∴切线方程：y+1=，将点 T 坐标代...