数学物理课件 第 1 页 共 6 页 勒让德（legendre）多项式及其性质 一． 勒让德多项式 勒让德多项式是由勒让德方程的通解推导出来的，所以我们首先引入勒让德方程，以及勒让德方程的幂级数解，勒让德方程的表达式如下： 2'''(1)2(1)0xyxyn ny 其中n 为非负实数 （1.1） 它的幂级数解如下： 12yyy （1.2） 其中： 2241200(1)(2)(1)(3)[1]2!4!kkkn nn nnnya xaxx （1.3） 213522110(1)(2)(1)(3)(2)(4)[]3!5!kkknnnnnnyaxa xxx （1.4） 由达朗贝尔判别法可知，当0n 不为整数时，这两个级数的收敛半径为1，在（1.3）式和（1.4）式中，0a 与1a 可以任意取值，它们起着任意常数的作用，显然，在区间（－1，1）内1y 和2y 都是方程（1.1 ）的解，所以（1.2 ）是（1.1 ）的通解。 上面（1.3）和（1.4）幂级数当| | 1x 时级数收敛，此外级数是发散的。并且，我们发现，当n 取非负整数时，1y 和2y 中有一个便退化为n 次多项式，它就是方程（1.1）在闭区间[-1,1]上的有界解。此时，适当的选定这个多项式的最高次幂系数na ，所得的多项式称为n 阶勒让德多项式或第一类勒让德函数，记作 nPx ，下面我们来推导勒让德多项式 nP x 的表达式。 ① 当n 为正偶数时 1y 退化为n 次多项式。为求得 nP x 的表达式，在1y 中我们通过na 来表示其它各项的系数。为此，将系数递推关系式改写成下列形式： 2(2)(1)()(1)kkkkaakn kn （1.5 ） 在（1.5 ）式中取2kn，得： 数学物理课件 第 2 页 共 6 页 2(1 )2 (21 )nnn naan （1.6 ） 习惯上取na 为 2(2 )2 ( !)nnnan （1 .7 ） 于是有： 2(1 )2 (21 )(22 )!2 (21 )2(1 )! (1 )(2 !)nnn nnnnann nn nn (22 )!2 (1 )!(2 )!nnnn （1 .8 ） 在（1 .5 ）式中取4kn，并利用2na 之值得： 42(2 )(3 )4 (23 )nnnnaan 2 (2 )(3 )(22 )!( 1 )4 (23 )2 (1 )!(2 )!nnnnnnn 2(24 )!( 1 ) 2 (2 !)(2 )!(4 )!nnnn （1 .9 ） 一般地，我们有 222!12!()!(2)!mnmnnmam nmnm （0 ,1 ,, 2nm ） （1 .1 0） 我...
