第 1 页 共 8 页 第十八章 勾股定理 一、本章知识结构图： 二、主要内容： 1、直角三角形的性质与判定小结 （1）直角三角形的性质： 角的关系：直角三角形两锐角互余。 边的关系：直角三角形斜边大于直角边。直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。 边角关系：直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半。 （2）直角三角形的判定： ①有一个角是直角的三角形是直角三角形。 ②有两个角互余的三角形是直角三角形。 ③两边的平方和等于第三边（最长的边）的平方的三角形是直角三角形。 2、已知直角三角形的两边长，会求第三边长。 设直角三角形的两直角边为 a,b,斜边长为 c，由勾股定理知道：222cba。变形得：222222,,bacacbbca，因此已知直角三角形的任意两边，利用勾股定理可求出第三条边。 3、已知一边和其它两边关系或已知三边关系，利用勾股定理列方程。 4、用勾股定理证明有关平方关系，作长为n 的线段。 5、当直角三角形中含有 30°与45°角时，已知一边，会求其它的边： （1）含有 30°的直角三角形的三边的比为：1：2:3。 实际问题 （判定直角三角形） 实际问题 （直角三角形边长计算） 勾股定理 勾股定理的逆定理 第 2 页 共 8 页 （2）含有45°的直角三角形的三边的比为：2:1:1。 （3）等边三角形的边长为a ，则高为23a，面积为243 a 。 6、无论是用勾股定理还是逆定理首先要找最长边，同时注意书写格式。 7、记一些常用的勾股数。如：3，4，5； 5，12，13； 7，24，25； 8，15，17； 9，40，41 等等。它们同时乘以一个正数，仍满足勾股定理的逆定理。 三、例题与习题： 1. 在△ABC 中,∠A=90°,则下列式子中不成立的是（ ）. A.222ACABBC B. 222BCACAB C. 222ACBCAB D.222ABBCAC. 2．已知ABC△的三边长分别为 5，13，12，则ABC△的面积为（ ） A．30 B．60 C．78 D．不能确定 3．△ABC 中，∠A、∠B、∠C 的对边分别是 a、b、c，下列命题中的假命题是（ ） （A）如果∠C－∠B=∠A，则△ABC 是直角三角形 （B）如果 c2= b2—a2，则△ABC 是直角三角形，且∠C=90° （C）如果（c＋a）（c－a）=b2，则△ABC 是直角三角形 （D）如果∠A：∠B：∠C=5：2：3，则△ABC 是直角三角形 4. 适合下列条件的三角形 ABC 中，直角三角形的个数为（ ）. ①;51,41,31...
