勾股定理的证明 【证法1 】（课本的证明） 做8 个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形. 从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等. 即 abcabba214214222， 整理得 222cba. 【证法2 】（邹元治证明） 以a、b 为直角边，以c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab21. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B 三点在一条直线上，B、F、C 三点在一条直线上，C、G、D 三点在一条直线上. RtΔHAE ≌ RtΔEBF, ∴ ∠AHE = ∠BEF. ∠AEH + ∠AHE = 90º, ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90º. ∴ ∠HEF = 180º― 90º= 90º. ∴ 四边形EFGH 是一个边长为c 的 正方形. 它的面积等于c2. RtΔGDH ≌ RtΔHAE, ∴ ∠HGD = ∠EHA. ∠HGD + ∠GHD = 90º, ∴ ∠EHA + ∠GHD = 90º. 又 ∠GHE = 90º, ∴ ∠DHA = 90º+ 90º= 180º. ∴ ABCD 是一个边长为a + b 的正方形，它的面积等于2ba . ∴ 22214cabba. ∴ 222cba. DGCFAHEBabcabcabcabcbabababacbacbacbacbacbacbaababccABCDE【证法3 】（赵爽证明） 以a、b 为直角边（b>a）， 以c 为斜 边作四个全等的直角三角形，则每个直角 三角形的面积等于ab21. 把这四个直角三 角形拼成如图所示形状. RtΔDAH ≌ RtΔABE, ∴ ∠HDA = ∠EAB. ∠HAD + ∠HAD = 90º， ∴ ∠EAB + ∠HAD = 90º， ∴ ABCD 是 一 个边长 为c 的正 方 形，它 的面积等于c2. EF = FG =GH =HE = b― a , ∠HEF = 90º. ∴ EFGH 是 一 个边长 为b― a 的正 方 形，它 的面积等于2ab . ∴ 22214cabab. ∴ 222cba. 【证法4 】（1876 年 美 国 总 统 Garfield 证明） 以a、b 为直角边，以c 为斜边作两 个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab21. 把这两 个直角三角形拼成如图所示形状，使 A、E、B 三点在 一 条 直线 上 . RtΔEAD ≌ RtΔCBE, ∴ ∠ADE = ∠BEC. ∠AED + ∠ADE = 90º, ∴ ∠AED + ∠BEC = 90º. ∴ ∠DEC = 180º― 90º= 90º. ∴ ΔDEC 是 一 ...
