化归与转化的数学思想解题举例

化归与转化的数学思想解题举例 化归与转化的思想确是指在解决问题时，采用某种手段使之转化，进而使问题得到解决的一种解题策略，是数学学科与其它学科相比，一个特有的数学思想方法，化归与转化思想的核心是把生题转化为熟题。事实上，解题的过程就是一个缩小已知与求解的差异的过程，是求解系统趋近于目标系统的过程，是未知向熟知转化的过程，因此每解一道题，无论是难题还是易题，都离不开化归。下面介绍一些常用的转化方法，及化归与转化思想解题的应用。 化归与转化常遵循以下几个原则 （1）熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决。 （2）简单化原则：将复杂的问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据。 （3）和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律。 (4)直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决。 （5）正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解。 一、正与反的转化：有些数学问题，如果直接从正面入手求解难度较大，致使思想受阻，我们可以从反面着手去解决。如函数与反函数的有关问题，对立事件的概率、间接法求解排列组合问题、举不胜举。 例 1：某射手射击 1 次击中目标的概率是 0.9 他连续射击 4 次且他各次射击是否击中目标是相互独立的，则他至少击中目标 1 次的概率为 。 分析：至少击中目标一次的情况包括1次、2次、3次、4次击中目标共四种情况，可转化为其对立事件：一次都未中，来求解 略解：他四次射击未中 1 次的概率 P1=44C 0.14=0.14 ∴他至少射击击中目标 1 次的概率为 1－P1=1－0.14=0.9999 例 2：求常数 m 的范围，使曲线 y=x2 的所有弦都不能被直线 y=m(x－3)垂直平分. 分析：直接求解较为困难，事实上，问题可以转化为：在曲线 y= x2存在关于直线 y=m(x－3)对称的两点，求 m的范围。 略解：抛物线 y=x2 上存在两点（x1，x 2 1）和（x2，x 2 2）关于直线 y=m(x－3)对称，则 mxxxxxxmxx1)32(22122212121即 mxxxxmxx1)6(21212221消去 x2 得 0161222121mmxmx ∴存在),(),,(222211xxxx ...