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化归与转化的数学思想解题举例

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化归与转化的数学思想解题举例 化归与转化的思想确是指在解决问题时,采用某种手段使之转化,进而使问题得到解决的一种解题策略,是数学学科与其它学科相比,一个特有的数学思想方法,化归与转化思想的核心是把生题转化为熟题。事实上,解题的过程就是一个缩小已知与求解的差异的过程,是求解系统趋近于目标系统的过程,是未知向熟知转化的过程,因此每解一道题,无论是难题还是易题,都离不开化归。下面介绍一些常用的转化方法,及化归与转化思想解题的应用。 化归与转化常遵循以下几个原则 (1)熟悉化原则:将陌生的问题转化为熟悉的问题,以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决。 (2)简单化原则:将复杂的问题化归为简单问题,通过对简单问题的解决,达到解决复杂问题的目的,或获得某种解题的启示和依据。 (3)和谐化原则:化归问题的条件或结论,使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式,或者转化命题,使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律。 (4)直观化原则:将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决。 (5)正难则反原则:当问题正面讨论遇到困难时,可考虑问题的反面,设法从问题的反面去探求,使问题获解。 一、正与反的转化:有些数学问题,如果直接从正面入手求解难度较大,致使思想受阻,我们可以从反面着手去解决。如函数与反函数的有关问题,对立事件的概率、间接法求解排列组合问题、举不胜举。 例 1:某射手射击 1 次击中目标的概率是 0.9 他连续射击 4 次且他各次射击是否击中目标是相互独立的,则他至少击中目标 1 次的概率为 。 分析:至少击中目标一次的情况包括1次、2次、3次、4次击中目标共四种情况,可转化为其对立事件:一次都未中,来求解 略解:他四次射击未中 1 次的概率 P1=44C 0.14=0.14 ∴他至少射击击中目标 1 次的概率为 1-P1=1-0.14=0.9999 例 2:求常数 m 的范围,使曲线 y=x2 的所有弦都不能被直线 y=m(x-3)垂直平分. 分析:直接求解较为困难,事实上,问题可以转化为:在曲线 y= x2存在关于直线 y=m(x-3)对称的两点,求 m的范围。 略解:抛物线 y=x2 上存在两点(x1,x 2 1)和(x2,x 2 2)关于直线 y=m(x-3)对称,则 mxxxxxxmxx1)32(22122212121即 mxxxxmxx1)6(21212221消去 x2 得 0161222121mmxmx ∴存在),(),,(222211xxxx ...

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