1 1 .2 误差知识与算法知识 1 .2 .2 绝对误差、相对误差与有效数字 设a 是准确值 x的一个近似值,记exa,称e 为近似值a 的绝对误差,简称误差。如果| |e 的一个上界已知,记为 ,即| |e,则称 为近似值a 的绝对误差限或绝对误差界,简称误差限或误差界。 记rexaexx,称re 为近似值a 的相对误差。由于 x未知,实际上总把 ea 作为a 的相对误差,并且也记为rexaeaa,相对误差一般用百分比表示。re 的上界,即||ra 称为近似值a 的相对误差限或相对误差界。 定义 设数a 是数 x的近似值。如果a 的绝对误差限时它的某一位的半个单位,并且从该位到它的第一位非零数字共有 n 位,则称用a 近似 x时具有 n 位有效数字。 1 .2 .3 函数求值的误差估计 设( )uf x存在足够高阶的导数,a 是 x的近似值,则~( )uf a是( )uf x的近似值。 若'( )0fa 且|''( ) | / |'( ) |fafa不很大,则有误差估计~~( )'( ) ( )( )'( )( )e ufa e aufaa。 若(1)( )'( )''( )...( )0,( )0kkfafafafa,且比值(1)( )( ) /( )kkfafa不很大,则有误差估计( )~( )~( )( )( )!( )( )( )!kkkkfae ue akfauak。 对于 n 元函数,有误差估计~121~121( ,,...,)( )( )( ,,...,)( )( )nniiinniiif a aae ue axf a aauax;若一阶偏导全为零或很小,则要使用高阶项。 1 .2 .4 算法及其计算复杂性 (1)要有数值稳定性,即能控制舍入误差的传播。 (2)两数相加要防止较小的数加不到较大的数中所引起的严重后果。 (3)要尽量避免两个相近的近似值相减,以免严重损失有效数字。 (4)除法运算中,要尽量避免除数的绝对值远远小于被除数的绝对值。 1 .3 向量范数与矩阵范数 1 .3 .1 向量范数 定义 定义在nR 上的实值函数 • 称为向量范数,如果对于nR 中的任意向量 x和 y 满足: (1)正定性:0x ,当且仅当0x 时,0x ; 2 (2)齐次性:对任一数kR,有kxk x; (3)成立三角不等式:xyxy。 定理 1 .1 对nR 中的任一向量12(,,...,)Tnxx xx,记 11niixx 221niixx 1maxii nxx 则1• ,2•和•都是向量范数。 定理 1 .2 设•和•是nR 上的任意两种向量范数,则存在与向量 x 无...