北京航空航天大学数值分析课程知识点总结

1 1 .2 误差知识与算法知识 1 .2 .2 绝对误差、相对误差与有效数字 设a 是准确值 x的一个近似值，记exa，称e 为近似值a 的绝对误差，简称误差。如果| |e 的一个上界已知，记为 ，即| |e，则称 为近似值a 的绝对误差限或绝对误差界，简称误差限或误差界。 记rexaexx，称re 为近似值a 的相对误差。由于 x未知，实际上总把 ea 作为a 的相对误差，并且也记为rexaeaa，相对误差一般用百分比表示。re 的上界，即||ra 称为近似值a 的相对误差限或相对误差界。 定义 设数a 是数 x的近似值。如果a 的绝对误差限时它的某一位的半个单位，并且从该位到它的第一位非零数字共有 n 位，则称用a 近似 x时具有 n 位有效数字。 1 .2 .3 函数求值的误差估计 设( )uf x存在足够高阶的导数，a 是 x的近似值，则~( )uf a是( )uf x的近似值。 若'( )0fa 且|''( ) | / |'( ) |fafa不很大，则有误差估计~~( )'( ) ( )( )'( )( )e ufa e aufaa。 若(1)( )'( )''( )...( )0,( )0kkfafafafa，且比值(1)( )( ) /( )kkfafa不很大，则有误差估计( )~( )~( )( )( )!( )( )( )!kkkkfae ue akfauak。 对于 n 元函数，有误差估计~121~121( ,,...,)( )( )( ,,...,)( )( )nniiinniiif a aae ue axf a aauax；若一阶偏导全为零或很小，则要使用高阶项。 1 .2 .4 算法及其计算复杂性 （1）要有数值稳定性，即能控制舍入误差的传播。 （2）两数相加要防止较小的数加不到较大的数中所引起的严重后果。 （3）要尽量避免两个相近的近似值相减，以免严重损失有效数字。 （4）除法运算中，要尽量避免除数的绝对值远远小于被除数的绝对值。 1 .3 向量范数与矩阵范数 1 .3 .1 向量范数 定义 定义在nR 上的实值函数 • 称为向量范数，如果对于nR 中的任意向量 x和 y 满足： （1）正定性：0x ，当且仅当0x 时，0x ； 2 （2）齐次性：对任一数kR，有kxk x； （3）成立三角不等式：xyxy。 定理 1 .1 对nR 中的任一向量12(,,...,)Tnxx xx，记 11niixx  221niixx  1maxii nxx  则1• ，2•和•都是向量范数。 定理 1 .2 设•和•是nR 上的任意两种向量范数，则存在与向量 x 无...