1 北师大 结构化学 课后习题 第4 章 分子对称性和群论 习题与思考题解析 1. 以H2O 为例说明对称操作和对称元素的含义。 解:H2O 分子为V 型结构,若将该分子经过O 原子且平分H-O-H 键角的直线旋转1800便可得到其等价图形,该直线称为对称元素-对称轴,其轴次为2,即为二重轴,用2C 表示。绕2C 轴的对称操作叫旋转,用2ˆC 表示。 2. 写出HCN,CO2,H2O2,CH2==CH2 和C6H6 分子的对称元素,并指出所属对称元素系。 答:HCN 分子的对称元素:1 个C 轴、 个v 面,属于'vC 对称元素系。 CO2 分子的对称元素:1 个C 轴、 个2C 轴、1 个h 、 个v 面和i 对称中心;属于'hD 对称元素系。 H2O2 分子的对称元素:只有 1 个2C 轴,属于'2C 对称元素系。 CH2==CH2 分子的对称元素:3 个相互垂直的2C 轴、3 个对称面(1 个h 、2 个v ),对称中心i ;属于'2hD对称元素系。 C6H6 分子的对称元素:1 个6C 轴、6 个垂直于6C 轴的2C 轴、1 个h 面、6 个v 面、和对称中心i ,属于'6hD对称元素系。 3. 试证明某图形若兼有2C 轴和与它垂直的h 对称面,则必定存在对称中心i 。 证明:假设该图形的2C 轴与z 轴重合,则与它垂直的h 对称面为xy 平面。则对称元素2( )Cz 和()h xy对应的对称操作2ˆˆ( ),()hC zxy的矩阵表示为: 2100ˆ ( )010001Cz 和 100ˆ ()010001h xy 则 2100 100100ˆˆˆ( )()010 010010001 001001hCzxyi 2 由此得证。 4 . 写出xy和通过原点并与 x 轴重合的2 ( )Cx 轴的对称操作的表示矩阵。 解:空间有一点(x, y, z),经过对称面xy作用后得到点(x, y, -z),经过2 ( )Cx 对称轴作用后得到点(x, -y, -z),所以xy和2 ( )Cx 对应对称操作2ˆˆ ,( )xy Cx的矩阵为: 100ˆ010001xy 和 2100ˆ010001C 5 . 用对称操作的表示矩阵证明: (1 ) 2ˆˆˆ( )xyC zi (2 ) 222ˆˆˆ( )( )( )C x CyC z (3 ) 2ˆˆˆ( )yzxzC z 证明:(1 ) 因为对称操作2ˆˆ( ),xyC z 的矩阵为: 2100ˆ ( )010001Cz 和 100ˆ010001xy 所以2100 100100ˆˆˆ( )010 010010001 001001xyCzi,由此得证。 (2 ) 因对称操作22ˆˆ( ),( )C x Cy 的矩阵...