北师大结构化学第4章分子对称性和群论

1 北师大 结构化学 课后习题 第4 章 分子对称性和群论 习题与思考题解析 1. 以H2O 为例说明对称操作和对称元素的含义。 解：H2O 分子为V 型结构，若将该分子经过O 原子且平分H-O-H 键角的直线旋转1800便可得到其等价图形，该直线称为对称元素-对称轴，其轴次为2，即为二重轴，用2C 表示。绕2C 轴的对称操作叫旋转，用2ˆC 表示。 2. 写出HCN，CO2，H2O2，CH2==CH2 和C6H6 分子的对称元素，并指出所属对称元素系。 答：HCN 分子的对称元素：1 个C 轴、 个v 面，属于'vC 对称元素系。 CO2 分子的对称元素：1 个C 轴、 个2C 轴、1 个h 、 个v 面和i 对称中心；属于'hD 对称元素系。 H2O2 分子的对称元素：只有 1 个2C 轴，属于'2C 对称元素系。 CH2==CH2 分子的对称元素：3 个相互垂直的2C 轴、3 个对称面（1 个h 、2 个v ），对称中心i ；属于'2hD对称元素系。 C6H6 分子的对称元素：1 个6C 轴、6 个垂直于6C 轴的2C 轴、1 个h 面、6 个v 面、和对称中心i ，属于'6hD对称元素系。 3. 试证明某图形若兼有2C 轴和与它垂直的h 对称面，则必定存在对称中心i 。 证明：假设该图形的2C 轴与z 轴重合，则与它垂直的h 对称面为xy 平面。则对称元素2( )Cz 和()h xy对应的对称操作2ˆˆ( ),()hC zxy的矩阵表示为： 2100ˆ ( )010001Cz 和 100ˆ ()010001h xy 则 2100 100100ˆˆˆ( )()010 010010001 001001hCzxyi 2 由此得证。 4 . 写出xy和通过原点并与 x 轴重合的2 ( )Cx 轴的对称操作的表示矩阵。 解：空间有一点(x, y, z)，经过对称面xy作用后得到点（x, y, -z），经过2 ( )Cx 对称轴作用后得到点(x, -y, -z)，所以xy和2 ( )Cx 对应对称操作2ˆˆ ,( )xy Cx的矩阵为： 100ˆ010001xy 和 2100ˆ010001C  5 . 用对称操作的表示矩阵证明： (1 ) 2ˆˆˆ( )xyC zi (2 ) 222ˆˆˆ( )( )( )C x CyC z (3 ) 2ˆˆˆ( )yzxzC z  证明：(1 ) 因为对称操作2ˆˆ( ),xyC z 的矩阵为： 2100ˆ ( )010001Cz 和 100ˆ010001xy 所以2100 100100ˆˆˆ( )010 010010001 001001xyCzi，由此得证。 (2 ) 因对称操作22ˆˆ( ),( )C x Cy 的矩阵...