函数导数与不等式专题VIP免费

函数导数与不等式专题一．利用切线与导数之间的联系解决不等式有关问题1．（2013年高考四川）已知函数,其中是实数.设,为该函数图象上的两点,且.(1)指出函数的单调区间;(2)若函数的图象在点处的切线互相垂直,且,证明:;(3)若函数的图象在点处的切线重合,求的取值范围.2．（2014届江西省新余）已知函数xbxfln)(，R)()(2axaxxg．（1）若曲线)(xf与)(xg在公共点)0,1(A处有相同的切线，求实数a、b的值；（2）当1b时，若曲线)(xf与)(xg在公共点P处有相同的切线，求证：点P唯一；（3）若0a，1b，且曲线)(xf与)(xg总存在公切线，求正实数a的最小值．二．利用函数的单调性、极值与导数的联系解决有关不等式问题3．（2014届云南省师大附中）已知函数，．1（1）若对于定义域内的恒成立，求实数的取值范围；（2）设有两个极值点，且，求证：；4.（2014届湖北省部分重点中学）已知函数322()13fxxxax在1,0上有两个极值点12,xx，且12xx（1）求实数a的取值范围；（2）证明：211()12fx．三、灵活应用导数解决函数与不等式的有关综合问题5．（2014届浙江省杭州市）设函数，；2（1）求证：函数在上单调递增；（2）设，，若直线轴，求两点间的最短距离.6.（2014届江西省师大附中）设．(1)若对一切恒成立，求的最大值．（2）设，且是曲线上任意两点，若对任意的，直线AB的斜率恒大于常数，求的取值范围；（3）求证：．课后强化训练1.（2014届河北省邯郸市）设函数2()(1)xfxxeax3(1)当12a时，求)(xf的单调区间；（2）若当0x时，()0fx恒成立，求a的取值范围.2、（2014届湖北省黄冈中学）已知函数，为常数．（1）若，且，求函数的单调区间；（2）若，且对任意，，都有，求的取值范围．函数导数与不等式专题参考答案41解:(1)函数的单调减区间为,单调增区间为,(2)由导数的几何意义知,点A处的切线斜率为,点B处的切线斜率为,故当点处的切线互相垂直时,有,当x<0时,因为,所以,所以,,因此,(当且仅当,即且时等号成立)所以函数的图象在点处的切线互相垂直时有.(Ⅲ)当或时,,故.当时,的图象在点处的切线方程为即.当时,的图象在点处的切线方程为即.两切线重合的充要条件是,由①及知,,由①、②得,令,则,且设,则5所以为减函数,则,所以,而当且t趋向于0时,无限增大,所以的取值范围是.故当函数的图象在点处的切线重合时,的取值范围是.2解：（1）xbxf，12axxg． 曲线xf与xg在公共点0,1A处有相同的切线∴1201101ln1abagbf，解得，11ba．…………………3分（2）设00,Pxy，则由题设有0200lnxaxx…①又在点P有共同的切线000020011''212xfxgxaxaxx代入①得002121lnxx……5分设xxxh2121ln，则0211xxxh，∴xh在,0上单调递增，所以hx＝0最多只有1个实根，从而，结合（Ⅰ）可知，满足题设的点P只能是1,0P……………7分（3）当0a，1b时，xxfln，xxf1，曲线xf在点ttln，处的切线方程为txtty1ln，即1ln1txty．由xaxytxty21ln1，得01ln112txtax． 曲线xf与xg总存在公切线，∴关于t0t的方程01ln411Δ2tat，即tatln14112总有解．………9分6若et，则0ln1t，而0112t，显然不成立，所以et0…10分从而，方程可化为tttaln11422．令tttthln1122et0，则23ln11ln21tttttth．∴当10t时，0th；当et1时，0th，即th在1,0上单调递减，在e,1上单调递增．∴th在e,0的最小值为41h，所以，要使方程有解，只须44a，即1a．…………………………13分3解：（1）()()fxgx≥，ln(0)xaxxx∴≤，22lnln1(),()xxxxxxxx设…（2分）当(0,1)x时，()0x，当(1,)x时，()0,x()(1)...