函数的极值及其应用VIP免费

函数的极值及其应用作者：xxxxx指导老师：xx摘要：论述了函数的极值问题，讨论了求函数极值的必要条件和充分条件，通过例题分析了求函数的极值问题的具体步骤，并用实例展现了函数的极值在解决实际问题中的重要作用．关键词：函数的极值;函数极值的必要条件;函数极值的充分条件在日常生活、工程实践和生产技术中，常会碰到这样的问题：在一定的条件下，怎样才能用料最少而所生产的产品最多，或者成本最低等．企业生产成本是影响企业利润的一个重要因素，因此企业经营者为了获得较高的利润，必须在企业经营中考虑如何最大限度地降低生产成本．通常这类问题最后都归结为一个数学问题，有些通过初等方法就能得到解决．例如，初等数学中的求极值的方法在这类问题的解决中就有着极其广泛的应用．这些都是数学中的极值问题．同样，高等数学函数问题中，函数极值的求法与应用也是一个值得深思的问题．那么从哪些方面对高等数学中函数的极值问题进行研究呢？1一元函数的极值问题及其应用1.1一元函数极值的定义设函数在的一个邻域内有定义，若对于该邻域内异于的恒有：，则称为函数的极大值，称为函数的极大值点．，则称为函数的极小值，称为极小值点．函数的极大值、极小值统称为函数的极值．极大值点、极小值点统称为函数的极值点．1.2函数极值存在的条件1.2.1函数极值存在的必要条件设函数在点处可导，且在处取得极值，那么．由费马定理知：只是可导函数存在极值的必要条件．但不是充分条件，原因在于，如果，并不一定是极值点．例如，第1页（共10页）对于函数来说，，但是由于当时有，当时，，而，所以不是它的极值点．使导数等于零的点（即方程的实根）叫做函数的驻点．据此可知，导函数的极值点必定是它的驻点，而函数的驻点却不一定是极值点．此外，函数在它的导数不存在的点处也可能取得极值．例如，函数在点处不可导，但函数在该点取得极小值．应该注意的是：极值反映函数的局部性态，是一个局部概念．极大值不一定大于极小值，极大（小）值不一定是区间上的最大（小）值，但就极值点附近的范围来说极大（小）值就是最大（小）值；区间上的极值点可能有若干个．怎样判定函数在驻点或不可导点处究竟是否取得极值？如果是，究竟取得极大值还是极小值？下面给出两个判定极值的充分条件．1.2.2函数极值存在的充分条件函数极值的第一充分条件设函数在的一个邻域内可导，或者在点处不可导但必须连续．若当在该邻域内由小于连续地变为大于时，其导数改变符号，则为函数的极值，为函数的极值点．若导函数由正值变为负值，则为极大值点，为极大值；若导函数由负值变为正值，则为极小值，为极小值点．由此可知：如果在处可导且但在的两侧同号，则不是函数的极值点，在处不取得极值．函数极值的第二充分条件设函数在处的二阶导数存在，若，且，则是函数的极值点，为函数的极值，并且当时，为极小值点，为极小值；当时，为极大值点，为极大值．这表明，如果函数在驻点处的二阶导数，那么该第2页（共10页）驻点一定是极值点，并且可以按二阶导数的符号来判定是极大值还是极小值．但如果，上述结论就不能应用．事实上，当且时，在处可能有极大值，也可能有极小值，也可能没有极值．例如，这三个函数在处就分别属于这三种情况．因此，如果函数在驻点处的二阶导数为零，那么还得用一阶导数在驻点左右邻近的符号来判定．1.3用微分法求函数极值的理论依据定理1（极值的必要条件）如果函数在点处可导，而且在点处有极值（极大值或极小值）则必有．由定理1可知：可导函数有极值点，则其极值点必是使其导函数值等于零的点（即方程的实根）；但反过来能使导函数值为零的点不一定是极值点．1.4例题例1当为何值时函数有极值，其极值如何？解由题设条件知，令知，当时，；当时，．故是函数的极小值点，且．例2求的极值．解对原函数求导数可得：令，则由，得到，．由于当时原函数在处取得极小值，当时原函数在处取极大值．将代入得，所以函数在处取得极大值，其值为；将代入得，所以函数在处取得极小值，其值为．例3在厨房屋角有一个八尺深的方窖，现要利用窖的两壁拦一角来做一个长方体形状的煤仓，其容量是...