1 因式分解能力的提高 下东中学数学知识讲座 2012 年3 月 因式分解是中学代数中的一种重要的变形，它与整式、分式联系极为密切，分式运算、解方程以及一些恒等变换，都经常用到因式分解。它不仅是初中代数中的一个重要的基础知识，它还是一种重要的数学思想方法，在今后的数学学习中应用很广。下面，向同学们介绍一些因式分解的初步应用。 一、利用因式分解判断整除性 例1 2n－1 和2n+1 表示两个连续的奇数(n 是整数)，证明这两个连续奇数的平方差能被8 整除． 证明 (2n＋1) 2 －(2n－1) 2 =(2n＋1＋2n－1)(2n＋1－2n＋1) =4n·2=8n ∴ 这两个连续奇数的平方差能被8 整除． 例2 x 3 +y 3 +z 3 －3xyz 能被(x+y+z)整除． 证明 因式分解，得原式即 (x+y+z)(x 2 +y 2 +z 2 －xy－yz－zx)， ∴x3+y3+z3－3xyz 能被(x+y+z)整除． 例3 设 4x－y 为3 的倍数，求证：4x 2 +7xy－2y 2 能被9 整除． 证明 4x 2 +7xy－2y 2 =(4x－y)(x+2y)， 又 x+2y=4x－y－3x+3y =(4x－y)－3(x－y)． ∴原式＝(4x－y)［(4x－y)－3(x－y)］ ＝(4x－y) 2 －3(4x－y)(x－y) 4x－y 为3 的倍数 ∴4x 2 +7xy－2y 2 能被9 整除 例4 设实数a
