多元函数微分学总结

`第八章 多元函数微分学 8.1 基本知识点要求 1.理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义. 2.了解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质。 3.理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必 要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。 4.理解方向导数与梯度的概念，并掌握其计算方法. 5.熟练掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法. 6.了解隐函数存在定理，熟练掌握多元隐函数偏导数的求法. 7.了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，熟练掌握它们的方程的求法。 8.了解二元函数的二阶泰勒公式. 9.理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，掌握二元函数极值存在的充分条件，并会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。 8.2 基本题型及解题思路分析 题型1 与多元函数极限、连续、偏导数和可微的概念及其之间的关系有关的题 1. 二元函数的极限与连续的概念及二元函数极限的计算。 （1）基本概念 ①二元函数极限的定义：设( )( , )f Pf x y的定义域为 D ,000(,)P xy是 D 的聚点.若常数A，对于0 ，总0 ，使得当0( , )(, )P x yDU P 时，都有( )( , )f PAf x yA成立，则称A为函数( , )f x y 当00( , )(,)x yxy时的极限，记作000( , )(,)lim( , )lim( )x yxyPPf x yAf PA或。 ②二元函数的连续：设( )( , )f Pf x y的定义域为 D ,000(,)P xy为 D 的聚点，且0PD.若0000( , )(,)lim( , )(,)x yxyf x yf xy，则称( , )f x y 在点000(,)P xy连续。 （2）关于二元函数极限的解题思路 注意：在二元函数0lim( )PPf PA存在的定义中，0PP方式任意，正是由于这一点致使二元函数有与一元函数不一样的性态，在学习过程中注意比较、总结和体会二者 之间的不同 。 ① 证 明 二元函数的极限不存在：若0PP以两 种 不同 的方式趋 于时，( )f P 的极 限不同，则0lim( )PPf P一定不存在（见例1）。 ②求二元函数的极限：可以应用一元函数求极限方法中的适用部分求二元函数的极限，比如：极限的局部有界性、局部保号性、四则运算法则、夹逼准则、两个重要的极限、变量代换法则、等价无穷小代换、分子分母有理化、无穷小量...