函数图象与性质的综合应用(一)VIP专享VIP免费

一、教学内容函数图象与性质的综合应用（一）二、学习指导1．函数性质是函数的重点内容，它包括函数定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性和对称性，函数图象是研究函数性质的直观工具，函数问题已成为高考永恒的热点、重点考查的内容之一，在选择题、填空题和解答题三种题型中每年都有试题.主要考查的内容有函数、反函数的概念及性质，函数的图象及变换和以基本初等函数出现的综合题及应用题等，同时考查基本数学思想方法的运用及分析问题、解决问题的能力，试题设计新颖，体现了课改的方向.2．理解映射、一一映射、函数、反函数的有关概念及其联系.映射是一种多对一和一对一的对应，函数是一个特殊的映射，只有当确定函数的映射是一一映射时，函数才具有反函数，反函数的定义域、值域是原函数的值域和定义域，且有f（a）＝bf－1（b）＝a.3．掌握基本初等函数的图象，能熟练地运用函数图象的平移、对称、伸缩等变换画函数的图象，会自觉运用图象研究函数的性质（如定义域、值域、蛋调性、奇偶性等），讨论方程的解的个数及解不等式等.三、典型例题【例1】2005年·湖南设P是△ABC内任意一点，S△ABC表示△ABC的面积，λ1＝，λ2＝，λ3＝，定义f（p）＝（λ1，λ2，λ3）.若G是△ABC的重心，f（Q）＝（，，），则（A）A．点Q在△GAB内B．点Q在△GBC内C．点Q在△GCA内D．点Q与G重合【解析】利用特殊值法，假设△ABC是边长为1的正三角形，易判断点Q在△GAB内.【评析】本题考查了映射的定义及运用“新定义”分析、解决问题的能力.在正确理解“新定义”的基础上，通过特殊三角形，运用筛选法求解.变式题由等式x4+a1x3+a2x2+a3x+a4＝(x+1)4+b1(x+1)3+b2(x+1)2+b3(x+1)+b4，定义映射f（a1，a2，a3，a4）→b1+b2+b3+b4，则f（4，3，2，1）＝（）A．10B．7C．－1D．0【例2】2005年·天津设f－1（x）是函数f（x）＝（ax－a－x）（a＞1）的反函数，则使f－1（x）＞1成立的x的取值范围为（A）A（，+∞）B（－∞，）C（，a）D［a，+∞）【分析】思路一：先求f－1（x），再解不等式f－1（x）＞1.思路二：利用反函数的定义，转化为求f（x）（x＞1）的值域.解法一：先求得f－1（x）＝loga（x+）（a＞1），由f－1（x）＞1得loga（x+）＞logaa，∴x+＞a，解得x＞.解法二： a＞1，∴f（x）＝（ax－a－x）为增函数，根据函数与反函数的定义域、值域之间的关系，由f－1（x）＞1，即在x＞1的条件下求f（x）的值域.∴f（x）＞f（1）＝（a－a－1）＝.【评析】本题考查反函数的概念以及解不等式的能力.解法二巧妙地利用函数与反函数定义域、值域的关系，以及函数的单调性，起到了事半功倍的效果.变式题设f－1（x）是函数f（x）＝的反函数，则以下不等式中恒成立的是（）A．f－1（x）≤2x－1B．f－1（x）≤2x+1C．f－1（x）≥2x－1D．f－1（x）≥2x+1【例3】2005年·湖北函数y＝e︱lnx︱－︱x－1︱的图象大致是（D）图1－2－1【解析】法一：当x≥1时，y＝1，根据图象排除C，取x＝时，y＝＞1，排除A，B，故选D.法二：由已知得y=结合图象选D.【评析】处理选图问题，通常有两种方法：方法一是采用选特殊点或利用函数性质排除，方法二直接作函数的图象.变式题2005年·辽宁一给定函数y＝f（x）的图象在下列图中，并且对任意an∈（0，1），由关系式an+1＝f（an）得到的数列{an}满足an+1＞an（nN∈*），则该函数的图象是（）ABCD图1－2－2【例4】2005年·上海对定义域分别是Df，Dg的函数y＝f（x），y＝g（x）.规定：函数h（x）＝（1）若函数f（x）＝，g（x）＝x2，写出函数h（x）的解析式；（2）求问题（1）中函数h（x）的值域；（3）若g（x）＝f（x+α），其中是常数，且α∈［0，］，请设计一个定义域为R的函数y＝f（x）及一个α的值，使得h（x）＝cos4x，并予以证明.【分析】先仔细审题，理解题意.其中（1）（2）问写出h（x）的解析式是关键，第（3）问联想相关三角函数求解.（2）当x≠1时，h（x）＝＝x－1++2【解】（1）由已知得h(x)=若x＞1，则h（x）≥4，其中等号当x＝2时成立.若x＜1，则h（x）≤0，其中等号当x＝0时成立.∴函数h（x...