函数值域的求法大全VIP专享VIP免费

函数值域的求法大全题型一求函数值：特别是分段函数求值例1已知f(x)＝(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R).(1)求f(2)，g(2)的值；(2)求f[g(3)]的值.解(1) f(x)＝，∴f(2)＝＝.又 g(x)＝x2＋2，∴g(2)＝22＋2＝6.(2) g(3)＝32＋2＝11，∴f[g(3)]＝f(11)＝＝.反思与感悟求函数值时，首先要确定出函数的对应关系f的具体含义，然后将变量代入解析式计算，对于f[g(x)]型的求值，按“由内到外”的顺序进行，要注意f[g(x)]与g[f(x)]的区别.跟踪训练4已知函数f(x)＝.(1)求f(2)；(2)求f[f(1)].解(1) f(x)＝，∴f(2)＝＝.(2)f(1)＝＝，f[f(1)]＝f()＝＝.5.已知函数f(x)＝x2＋x－1.(1)求f(2)，f()；(2)若f(x)＝5，求x的值.解(1)f(2)＝22＋2－1＝5，f()＝＋－1＝.(2) f(x)＝x2＋x－1＝5，∴x2＋x－6＝0，∴x＝2，或x＝－3.(3)4.函数f(x)对任意自然数x满足f(x＋1)＝f(x)＋1，f(0)＝1，则f(5)＝________.答案6解析f(1)＝f(0)＋1＝1＋1＝2，f(2)＝f(1)＋1＝3，f(3)＝f(2)＋1＝4，f(4)＝f(3)＋1＝5，f(5)＝f(4)＋1＝6.二、值域是函数y=f(x)中y的取值范围。常用的求值域的方法：（1）直接法（2）图象法（数形结合）（3）函数单调性法（4）配方法（5）换元法（包括三角换元）（6）反函数法（逆求法）（7）分离常数法（8）判别式法（9）复合函数法（10）不等式法（11）平方法等等这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。求值域问题利用常见函数的值域来求（直接法）一次函数y=ax+b(a¿0)的定义域为R，值域为R；反比例函数y=kx(k≠0)的定义域为{x|x¿0}，值域为{y|y¿0}；二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的定义域为R，当a>0时，值域为{y|y≥(4ac−b2)4a}；当a<0时，值域为{y|y≤(4ac−b2)4a}.例1求下列函数的值域①y=3x+2(-1¿x¿1)②f(x)=−23x（1≤x≤3）③y=x+1x（记住图像）解：① -1¿x¿1，∴-3¿3x¿3，∴-1¿3x+2¿5，即-1¿y¿5，∴值域是[-1，5]②略③当x>0，∴y=x+1x=(√x−1√x)2+2¿2，当x<0时，y=−(−x+1−x)=－(√−x−1√−x)2−2¿−2奎屯王新敞新疆∴值域是(−∞,−2]∪¿¿[2，+∞).（此法也称为配方法）函数y=x+1x的图像为：二次函数在区间上的值域(最值)：例2求下列函数的最大值、最小值与值域：4321-1-2-3-4-6-4-2246y=xo-2-112fx=x+1x①y=x2−4x+1；②；y=x2−4x+1,x∈[3,4]③y=x2−4x+1,x∈[0,1]；④y=x2−4x+1,x∈[0,5]；解： y=x2−4x+1=(x−2)2−3，∴顶点为(2,-3)，顶点横坐标为2.① 抛物线的开口向上，函数的定义域R，∴x=2时，ymin=-3,无最大值；函数的值域是{y|y¿-3}.② 顶点横坐标2[3,4]，当x=3时，y=-2；x=4时，y=1；∴在[3,4]上，ymin=-2，ymax=1；值域为[-2，1].③ 顶点横坐标2[0,1]，当x=0时，y=1；x=1时，y=-2,∴在[0,1]上，ymin=-2，ymax=1；值域为[-2，1].④ 顶点横坐标2∈[0,5]，当x=0时，y=1；x=2时，y=-3,x=5时，y=6,∴在[0,1]上，ymin=-3，ymax=6；值域为[-3，6].注：对于二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),⑴若定义域为R时，①当a>0时，则当x=−b2a时，其最小值ymin=(4ac−b2)4a；②当a<0时，则当x=−b2a时，其最大值ymax=(4ac−b2)4a;⑵若定义域为x∈[a,b],则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间[a,b].①若x0∈[a,b],则f(x0)是函数的最小值（a>0）时或最大值（a<0）时，再比较f(a),f(b)的大小决定函数的最大（小）值.②若x0∉[a,b],则[a,b]是在f(x)的单调区间内，只需比较f(a),f(b)的大小即可决定函数的最大（小）值.注：①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；②当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进321-1-2-3654321-1-2xOy行讨论.练习：1、求函数y=3+√2−3x的值域解：由算术平方根的性质，知√2−3x≥0，故3+√2−3x≥3。∴函数的值域为[3,+∞).2、求函数y=x2−2x+5,x∈[0,5]的值域解： 对称轴x=1∈[0,5]∴x=1时,ymin=4x=5时,ymax=20∴值域为[4,20]1单调性法例3求函数y=4x－√1−3x(x≤1/3)的值域。设f(x)=4x,g(x)=－√1−3x,(x≤1/3),易知它们在定义域内为增函数，从而y=f(x)+g(x)=4x-√1−3x在定义域为x≤1/3上也为增函数，而且y≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此，所求的函数值域为｛y|y≤4/...