函数值域的求法大全题型一求函数值:特别是分段函数求值例1已知f(x)=(x∈R,且x≠-1),g(x)=x2+2(x∈R).(1)求f(2),g(2)的值;(2)求f[g(3)]的值.解(1) f(x)=,∴f(2)==.又 g(x)=x2+2,∴g(2)=22+2=6.(2) g(3)=32+2=11,∴f[g(3)]=f(11)==.反思与感悟求函数值时,首先要确定出函数的对应关系f的具体含义,然后将变量代入解析式计算,对于f[g(x)]型的求值,按“由内到外”的顺序进行,要注意f[g(x)]与g[f(x)]的区别.跟踪训练4已知函数f(x)=.(1)求f(2);(2)求f[f(1)].解(1) f(x)=,∴f(2)==.(2)f(1)==,f[f(1)]=f()==.5.已知函数f(x)=x2+x-1.(1)求f(2),f();(2)若f(x)=5,求x的值.解(1)f(2)=22+2-1=5,f()=+-1=.(2) f(x)=x2+x-1=5,∴x2+x-6=0,∴x=2,或x=-3.(3)4.函数f(x)对任意自然数x满足f(x+1)=f(x)+1,f(0)=1,则f(5)=________.答案6解析f(1)=f(0)+1=1+1=2,f(2)=f(1)+1=3,f(3)=f(2)+1=4,f(4)=f(3)+1=5,f(5)=f(4)+1=6.二、值域是函数y=f(x)中y的取值范围。常用的求值域的方法:(1)直接法(2)图象法(数形结合)(3)函数单调性法(4)配方法(5)换元法(包括三角换元)(6)反函数法(逆求法)(7)分离常数法(8)判别式法(9)复合函数法(10)不等式法(11)平方法等等这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。求值域问题利用常见函数的值域来求(直接法)一次函数y=ax+b(a¿0)的定义域为R,值域为R;反比例函数y=kx(k≠0)的定义域为{x|x¿0},值域为{y|y¿0};二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的定义域为R,当a>0时,值域为{y|y≥(4ac−b2)4a};当a<0时,值域为{y|y≤(4ac−b2)4a}.例1求下列函数的值域①y=3x+2(-1¿x¿1)②f(x)=−23x(1≤x≤3)③y=x+1x(记住图像)解:① -1¿x¿1,∴-3¿3x¿3,∴-1¿3x+2¿5,即-1¿y¿5,∴值域是[-1,5]②略③当x>0,∴y=x+1x=(√x−1√x)2+2¿2,当x<0时,y=−(−x+1−x)=-(√−x−1√−x)2−2¿−2奎屯王新敞新疆∴值域是(−∞,−2]∪¿¿[2,+∞).(此法也称为配方法)函数y=x+1x的图像为:二次函数在区间上的值域(最值):例2求下列函数的最大值、最小值与值域:4321-1-2-3-4-6-4-2246y=xo-2-112fx=x+1x①y=x2−4x+1;②;y=x2−4x+1,x∈[3,4]③y=x2−4x+1,x∈[0,1];④y=x2−4x+1,x∈[0,5];解: y=x2−4x+1=(x−2)2−3,∴顶点为(2,-3),顶点横坐标为2.① 抛物线的开口向上,函数的定义域R,∴x=2时,ymin=-3,无最大值;函数的值域是{y|y¿-3}.② 顶点横坐标2[3,4],当x=3时,y=-2;x=4时,y=1;∴在[3,4]上,ymin=-2,ymax=1;值域为[-2,1].③ 顶点横坐标2[0,1],当x=0时,y=1;x=1时,y=-2,∴在[0,1]上,ymin=-2,ymax=1;值域为[-2,1].④ 顶点横坐标2∈[0,5],当x=0时,y=1;x=2时,y=-3,x=5时,y=6,∴在[0,1]上,ymin=-3,ymax=6;值域为[-3,6].注:对于二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),⑴若定义域为R时,①当a>0时,则当x=−b2a时,其最小值ymin=(4ac−b2)4a;②当a<0时,则当x=−b2a时,其最大值ymax=(4ac−b2)4a;⑵若定义域为x∈[a,b],则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间[a,b].①若x0∈[a,b],则f(x0)是函数的最小值(a>0)时或最大值(a<0)时,再比较f(a),f(b)的大小决定函数的最大(小)值.②若x0∉[a,b],则[a,b]是在f(x)的单调区间内,只需比较f(a),f(b)的大小即可决定函数的最大(小)值.注:①若给定区间不是闭区间,则可能得不到最大(小)值;②当顶点横坐标是字母时,则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进321-1-2-3654321-1-2xOy行讨论.练习:1、求函数y=3+√2−3x的值域解:由算术平方根的性质,知√2−3x≥0,故3+√2−3x≥3。∴函数的值域为[3,+∞).2、求函数y=x2−2x+5,x∈[0,5]的值域解: 对称轴x=1∈[0,5]∴x=1时,ymin=4x=5时,ymax=20∴值域为[4,20]1单调性法例3求函数y=4x-√1−3x(x≤1/3)的值域。设f(x)=4x,g(x)=-√1−3x,(x≤1/3),易知它们在定义域内为增函数,从而y=f(x)+g(x)=4x-√1−3x在定义域为x≤1/3上也为增函数,而且y≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此,所求的函数值域为{y|y≤4/...