特征值与特征向量定义与计算

特征值与特征向量特征值与特征向量的概念及其计算定义 1. 设 A是数域 P上的一个 n 阶矩阵， l 是一个未知量，称为 A的特征多项式，记| (l)=| lE-A|，是一个 P 上的关于 l 的 n 次多项式， E是单位矩阵。| (l)=| lE-A|=ln+a1ln-1+⋯+an= 0 是一个 n 次代数方程，称为A的特征方程。特征方程|(l)=| lE-A|=0的根 ( 如：l 0) 称为 A的特征根 ( 或特征值 ) 。 n 次代数方程在复数域内有且仅有n 个根，而在实数域内不一定有根，因此特征根的多少和有无，不仅与A有关，与数域 P也有关。以 A 的特征值 l0 代入 (lE-A)X=q ，得方程组 (l0E-A)X=q，是一个齐次方程组，称为 A的关于 l 0 的特征方程组。因为 |l0E-A|=0 ，(l0E-A)X=q 必存在非零解 X(0)，X(0) 称为 A 的属于 l0的特征向量。所有 l 0的特征向量全体构成了l 0的特征向量空间。一. 特征值与特征向量的求法对于矩阵 A，由 AX=l0X，l 0EX=AX，得： [l0E-A]X=q 即齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是：即说明特征根是特征多项式 |l0E-A| =0 的根，由代数基本定理有 n 个复根 l1, l2, ⋯, ln，为 A的 n 个特征根。当特征根 li (I=1,2,⋯,n) 求出后， (li E-A)X=q 是齐次方程， l i均会使 |li E-A|=0，(li E-A)X=q 必存在非零解，且有无穷个解向量，(liE-A)X=q 的基础解系以及基础解系的线性组合都是 A的特征向量。例 1. 求矩阵的特征值与特征向量。解：由特征方程解得 A有 2 重特征值 l1=l 2=-2，有单特征值 l3=4 对于特征值 l1=l 2=-2，解方程组 (-2E-A)x=q 得同解方程组 x 1-x 2+x3=0 解为 x 1=x2-x 3 (x2,x 3 为自由未知量) 分别令自由未知量得基础解系所以 A的对应于特征值 l1=l 2=-2 的全部特征向量为x=k1x1+k2x 2 (k 1,k 2不全为零 ) 可见，特征值 l=-2的特征向量空间是二维的。注意，特征值在重根时，特征向量空间的维数￡特征根的重数。对于特征值 l3=4，方程组 (4E-A)x=q 得同解方程组为通解为令自由未知量 x 3=2 得基础解系所以 A的对于特征值 l3=4 得全部特征向量为 x= k3 x3例 2.求矩阵的特征值与特征向量解：由特征方程解得 A有单特征值 l1=1，有 2 重特征值 l2=l 3=0 对于 l1=1，解方程组 (E-A) x = q 得同解方程组为同解为令自由未知量 x 3=1，得基础解系所以 A的对应于特征值 l1=1的全部特征向量为 x=k 1x 1 (...