《现代控制理论》复习题1 二、（ 15分）考虑由下式确定的系统：233)(2ssssG试求其状态空间实现的能控标准型、能观标准型和对角线标准型，并画出能控标准型的状态变量图。解： 能控标准形为21212113103210xxyuxxxx能观测标准形为21212110133120xxyuxxxx对角标准形为21212112112001xxyuxxxx三、（ 10分）在线性控制系统的分析和设计中，系统的状态转移矩阵起着很重要的作用。对系统xx3210求其状态转移矩阵。解：解法 1。容易得到系统状态矩阵A的两个特征值是2,121，它们是不相同的，故系统的矩阵 A可以对角化。矩阵A对应于特征值2,121的特征向量是21,1121取变换矩阵1112121T，则21111T因此，20011TATD从而，ttttttttttttAteeeeeeeeeeTeeTe22222212222111200211100解法 2。拉普拉斯方法由于2211221221112112)2)(1()2)(1(2)2)(1(1)2)(1(32132)3(1)(adj)det(1321)(11ssssssssssssssssssssssAsIAsIssAsI故ttttttttAteeeeeeeeAsILet2222112222])[()(解法 3。凯莱 -哈密尔顿方法将状态转移矩阵写成AtaItaeAt)()(10系统矩阵的特征值是-1 和-2 ，故)(2)()()(10210tataetataett解以上线性方程组，可得tttteetaeeta2120)(2)(因此，ttttttttAteeeeeeeeAtaItaet2222102222)()()(四、（ 15分）已知对象的状态空间模型CxyBuAxx,,是完全能观的，请画出观测器设计的框图，并据此给出观测器方程，观测器设计方法。解 观测器设计的框图：观测器方程：LyBuxLCACxyLBuxAx~)()(~~其中： x~ 是观测器的维状态，L是一个 n×p维的待定观测器增益矩阵。观测器设计方法：由于)](det[])(det[)](det[TTTTLCAILCAILCAI因此，可以利用极点配置的方法来确定矩阵L，使得TTTLCA具有给定的观测器极点。具体的方法有：直接法、变换法、爱克曼公式。五、（ 15分）对于一个连续时间线性定常系统，试叙述Lyapunov 稳定性定理，并举一个二阶系统例子说明该定理的应用。解 连续时间线性时不变系统的李雅普诺夫稳定性定理：线性时不变系统Axx在平衡点0ex处渐近稳定的充分必要条件是：对任意给定的对称正定矩阵 Q，李雅普诺夫矩阵方程QPAPAT有惟一的对称正定解P。在具体问题分析中，可以选取Q = I。考虑二阶线性时不变系统：21211110xxxx原点是系统的惟一平衡状态。求解以下的李雅普诺夫矩阵方程IPAPAT其中的未知对称矩阵22121211ppppP将矩阵 A和 P的表示式代入李雅普诺夫方程中，可得1001111011102212121122121211pppppppp进一步可得联立方程组122012221222121112ppppp...
