用二分法求方程近似解经典例题及答案

例 1：利用计算器，求方程0122xx的一个近似解（精确到0.1）．【解 】设2( )21f xxx，先画出函数图象的简图. ( 如右图所示 ) 因为(2)10,(3)20ff，所以在区间 (2,3) 内，方程2210xx有一解，记为1x . 取 2 与 3的平均数 2.5 ，因为(2.5)0.250f，所以122.5x. 再取 2 与 2.5的平均数 2.25，因为(2.25)0.43750f，所以12.252.5x. 如此继续下去，得1(2)0,(3)0(2,3)ffx1(2)0,(2.5)0(2, 2.5)ffx1(2.25)0,(2.5)0(2.25, 2.5)ffx1(2.375)0,(2.5)0(2.375, 2.5)ffx1(2.375)0,(2.4375)0(2.375,ffx2.4375) ，因为 2.375与 2.4375精确到 0.1的近似值都为 2.4 ，所以此方程的近似解为12.4x. 利用同样的方法，还可以求出方程的另一个近似解. 点评 : ①第一步确定零点所在的大致区间),(ba，可利用函数性质， 也可借助计算机或计算器，但尽量取端点为整数的区间，尽量缩短区间长度，通常可确定一个长度为1 的区间；②建议列表样式如下：零点所在区间区间中点函数值区间长度]3,2[0)5.2(f1 ]5.2,2[0)25.2(f0.5 ]5.2,25.2[0)375.2(f0.25 ]5.2,375.2[0)4375.2(f0.125 如此列表的优势：计算步数明确，区间长度小于精度时，即为计算的最后一步．例 2：利用计算器，求方程xx3lg的近似解（精确到0.1）．分析： 分别画函数lgyx 和3yx的图象，在两个函数图象的交点处，函数值相等．因此，这个程xx3lg的 解 ． 由 函 数lgyx 与点的横坐标就是方3yx 的图象可以发现， 方程xx3lg有惟一解，记为1x ，并且这个解在区间(2,3) 内. 【解】设( )lg3f xxx，利用计算器计算得1(2)0,(3)0(2,3)ffx1(2.5)0,(3)0(2.5,3)ffx1(2.5)0,(2.75)0(2.5, 2.75)ffx1(2.5)0,(2.625)0(2.5, 2.625)ffx(2.5625)0,(2.625)0ff1x(2.5625,2.625)因为 2.5625与 2.625精确到 0.1的近似值都为 2.6 ，所以此方程的近似解为12.6x. 思考 : 发现计算的结果约稳定在2.58717. 这实际上是求方程近似解的另一种方法——迭代法．除了二分法、迭代法，求方程近似解的方法还有牛顿切线法、弦切法等．例 3：利用计算器，求方程24xx的近似解（精确到0.1）．【解】方程 24xx可以化为 24xx ．分别画函数2xy与4yx 的图象，由图象可以知道，方程24xx的解在区间 (1,2) 内，那么对于区间(1,2) ，利用二分法就可以求得它的近似解为1.4x. 追踪训练一1.设0x 是方程 ln4xx的解，则0x 所在的区间为（B ）A． (3, 4)B． (2,3)C． (1,2)D． (0,1)2.估算方...