用均值不等式求最值方法和技巧

1 / 8 几个重要的均值不等式①，、)(222222Rbabaababba当且仅当 a = b 时，“=”号成立；②，、)(222Rbabaababba当且仅当 a = b 时，“=”号成立；注： ① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；② 熟悉一个重要的不等式链：ba1122abab222ba。三、用均值不等式求最值的常见的技巧1、 添、减项（配常数项）例 1 求函数221632yxx 的最小值 . 2、 配系数（乘、除项）例 2 已知0,0xy，且满足 3212xy，求 lglgxy 的最大值 . 2 / 8 3、 裂项例 3 已知1x，求函数521xxyx的最小值 . 4、 取倒数例 4 已知102x，求函数2(1)(1 2 )xyxx 的最小值 . 5、 平方例 5 已知0,0xy且22283yx求262xy 的最大值 . 3 / 8 6、 换元（整体思想）例 6 求函数225xyx的最大值 . 7、 逆用条件例 7 已知191(0,0)xyxy, 则 xy 的最小值是（） . 8、 巧组合例 8 若, ,0a b c且()42 3a abcbc, 求 2abc 的最小值 . 4 / 8 9、 消元例 9、设, ,x y z为正实数，230xyz，则2yxz 的最小值是 . 5 / 8 几个重要的均值不等式①，、)(222222Rbabaababba当且仅当 a = b 时，“=”号成立；②，、)(222Rbabaababba当且仅当 a = b 时，“=”号成立；注： ① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；② 熟悉一个重要的不等式链：ba1122abab222ba。三、用均值不等式求最值的常见的技巧1、 添、减项（配常数项）例 1 求函数221632yxx 的最小值 . 22222221620,32163(2)621623(2)628 36xyxxxxxx解：当且仅当22163(2)2xx ，即24 323x时, 等号成立 . 所以 y 的最小值是 8 36 . 2、 配系数（乘、除项）例 2 已知0,0xy，且满足 3212xy，求 lglgxy 的最大值 . 220,032lglglg()lg6132112lglg6262lg 6xyxyxyxyxy解：当且仅当 32xy ，即2,3xy时，等号成立 . 所以 lglgxy 的最大值是lg 6. 6 / 8 3、 裂项例 3 已知1x，求函数521xxyx的最小值 . 141110 ,144(1)52 (1)5119xxxyxxxxx解：当且仅当411xx，即1x时，取等号 . 所以min9y. 4、 取倒数例 4 已知102x，求函数2(1)(1 2 )xyxx 的最小值 . 解 由102x，得 10x，120x. 取倒数，得221(1 2 )131 2(1)3 1131211113212xxxxyxxxxxxx当且仅当31211xxxx ，即15x时，取等号 . 故 y 的最小值是 12. 5、 平方例 5 已知0,0xy且222...