1 用射影面积法求二面角在高考中的妙用广西南宁外国语学校隆光诚(邮政编码530007)立体几何中的二面角是一个非常重要的数学概念,求二面角的大小更是历年高考的热点问题,在每年全国各省市的高考试题的大题中几乎都出现. 求二面角的方法很多,但是,对无棱二面角,或者不容易作出二面角的平面角时,如何求这个二面角的大小呢?用射影面积法是解决这类问题的捷径,本文以近年高考题为例说明这个方法在解题中的妙用,以飨读者!定理已知平面内一个多边形的面积为S,它在平面内的射影图形的面积为'S ,平面和平面所成的二面角的大小为,则SS'cos. 本文仅对多边形为三角形为例证明,其它情形请读者自证. 证明:如图,平面内的△ ABC 在平面的射影为△BCA',作BCAD于 D,连结 AD. 'AA于'A , D,AD 在内的射影为DA'. 又BCBCAD,,BCDA'(三垂线定理的逆定理). 'ADA 为二面角— BC—的平面角 . 设△ ABC 和△BCA'的面积分别为S 和'S ,'ADA,则DABCSADBCS''21,21. SSADBCDABCADDA'''2121cos. 典题妙解下面以近年高考题为例说明上述结论在解题中的妙用. 例 1 如图 , 已知正方体ABCD — A 1B1C 1D1 中, E 是 A A 1 棱的中点,则面 BE C 1 与面 AC 所成的二面角的大小为( ) A. 45B. 21arctanC. 42arctanD. 32arccos解:连结AC,则△1EBC 在面 AC 内的射影是△ ABC ,设它们的面积分别为S 和'S ,所成的二面角为. 设正方体的棱长为2,则 AB = BC = 2 ,.31)22(,22,52211ECBCBE.103cos1sin,1012cos1211212121EBCEBCBCBEECBCBEEBC.32cos,221,3sin21''11SSBCABSEBCBCBES32arccos. 故答案选D. 例 2(04 北京)如图 , 已知四棱锥S— ABCD 的底面是边长为1 的正方形 , SD⊥面 AC, SB = 3 . (1) 求证 :BC ⊥SC; (2) 求面 ASD 与面 BSC 所成的二面角的大小; (3) 设棱 SA 的中点为 M, 求异面直线DM 与 SB 所成的角的大小. (1)证明:SD⊥面 AC,SC 在面 AC 内的射影是SD. 又四边形 ABCD 是正方形, BC面 AC,BC⊥SC(三垂线定理). 'AA B D C A B D 1C 1D C A 1B1E A B D1C1D C A 1B1E A B C S M D 2 (2)解:SD⊥面 AC, CD面 AC,CDSD. 又四边形 ABCD 是正方形,CDAD. 而DSDAD,CD ⊥面 ASD. 又 AB ∥CD ,BA ⊥面 ASD. △SBC 在面 SAD 的射影是 △SAD,设它们的面积分别为S 和'S ,所成的...