用射影面积法求二面角在高考中的妙用

1 用射影面积法求二面角在高考中的妙用广西南宁外国语学校隆光诚（邮政编码530007）立体几何中的二面角是一个非常重要的数学概念，求二面角的大小更是历年高考的热点问题，在每年全国各省市的高考试题的大题中几乎都出现. 求二面角的方法很多，但是，对无棱二面角，或者不容易作出二面角的平面角时，如何求这个二面角的大小呢？用射影面积法是解决这类问题的捷径，本文以近年高考题为例说明这个方法在解题中的妙用，以飨读者！定理已知平面内一个多边形的面积为S，它在平面内的射影图形的面积为'S ，平面和平面所成的二面角的大小为，则SS'cos. 本文仅对多边形为三角形为例证明，其它情形请读者自证. 证明：如图，平面内的△ ABC 在平面的射影为△BCA'，作BCAD于 D，连结 AD. 'AA于'A ， D，AD 在内的射影为DA'. 又BCBCAD,，BCDA'（三垂线定理的逆定理）. 'ADA 为二面角— BC—的平面角 . 设△ ABC 和△BCA'的面积分别为S 和'S ，'ADA，则DABCSADBCS''21,21. SSADBCDABCADDA'''2121cos. 典题妙解下面以近年高考题为例说明上述结论在解题中的妙用. 例 1 如图 , 已知正方体ABCD — A 1B1C 1D1 中， E 是 A A 1 棱的中点，则面 BE C 1 与面 AC 所成的二面角的大小为( ) A. 45B. 21arctanC. 42arctanD. 32arccos解：连结AC，则△1EBC 在面 AC 内的射影是△ ABC ，设它们的面积分别为S 和'S ，所成的二面角为. 设正方体的棱长为2，则 AB = BC = 2 ，.31)22(,22,52211ECBCBE.103cos1sin,1012cos1211212121EBCEBCBCBEECBCBEEBC.32cos,221,3sin21''11SSBCABSEBCBCBES32arccos. 故答案选D. 例 2（04 北京）如图 , 已知四棱锥S— ABCD 的底面是边长为1 的正方形 , SD⊥面 AC, SB = 3 . (1) 求证 :BC ⊥SC; (2) 求面 ASD 与面 BSC 所成的二面角的大小; (3) 设棱 SA 的中点为 M, 求异面直线DM 与 SB 所成的角的大小. （1）证明：SD⊥面 AC，SC 在面 AC 内的射影是SD. 又四边形 ABCD 是正方形， BC面 AC，BC⊥SC（三垂线定理）. 'AA B D C A B D 1C 1D C A 1B1E A B D1C1D C A 1B1E A B C S M D 2 （2）解：SD⊥面 AC， CD面 AC，CDSD. 又四边形 ABCD 是正方形，CDAD. 而DSDAD，CD ⊥面 ASD. 又 AB ∥CD ，BA ⊥面 ASD. △SBC 在面 SAD 的射影是 △SAD，设它们的面积分别为S 和'S ，所成的...