直线的方向向量与平面的法向量

精品感谢下载载直线的方向向量与平面的法向量【问题导思】图 3－ 2－1 1．如图 3－ 2－1，直线 l ∥m，在直线 l 上取两点 A、B，在直线 m上取两点 C、D，向量AB→与 CD→有怎样的关系？【提示】AB→ ∥CD→. 2．如图直线l ⊥平面 α，直线 l ∥m，在直线m上取向量n，则向量n 与平面 α 有怎样的关系？【提示】n⊥α. 直线的方向向量是指和这条直线平行或共线的非零向量，一条直线的方向向量有无数个．直线 l ⊥α，取直线 l 的方向向量a，则向量 a 叫做平面 α 的法向量 . 空间中平行关系的向量表示线线平行设两条不重合的直线l ，m的方向向量分别为a＝( a1，b1，c1) ，b＝ ( a2，b2，c2)，则 l ∥m? a∥b? ( a1，b1，c1) ＝k( a2，b2，c2) 线面平行设 l 的方向向量为a＝ ( a1，b1，c1) ，α 的法向量为u＝( a2，b2，c2) ，则 l ∥α? a·u＝0? a1a2＋b1b2＋c1c2＝0 面面平行设 α，β 的法向量分别为u＝ ( a1，b1，c1) ，v＝( a2，b2，c2) ，则 α∥β? u∥v? (a1，b1，c1) ＝k(a2， b2， c2) 精品感谢下载载求平面的法向量图 3－ 2－2 已知 ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面 ABCD，SA＝AB＝BC＝ 1，AD＝12，试建立适当的坐标系．(1) 求平面 ABCD与平面 SAB的一个法向量．(2) 求平面 SCD的一个法向量．【自主解答】以点 A为原点， AD、AB、AS所在的直线分别为x 轴、 y 轴、 z 轴，建立如图所示的坐标系，则A(0,0,0)，B(0,1,0)， C(1,1,0)，D(12，0,0) ， S(0,0,1)．(1) SA⊥平面 ABCD，∴ AS→＝(0,0,1)是平面 ABCD的一个法向量． AD⊥AB，AD⊥SA，∴ AD⊥平面 SAB，∴AD→＝(12，0,0) 是平面 SAB的一个法向量．(2) 在平面 SCD中， DC→ ＝(12，1,0) ，SC→ ＝(1,1 ，－ 1) ．设平面 SCD的法向量是n＝( x，y，z) ，则 n⊥DC→，n⊥ SC→. 所以n·DC→ ＝0n·SC→ ＝0，得方程组12x＋y＝0x＋y－z＝0.∴x＝－ 2yz＝－ y，令 y＝－ 1 得 x＝2， z＝1，∴ n＝(2 ，－ 1,1) ．1．若一个几何体中存在线面垂直关系，则平面的垂线的方向向量即为平面的法向量．精品感谢下载载2．一般情况下，使用待定系数法求平面的法向量，步骤如下：(1) 设出平面的法向量为n＝ ( x，y，z) ．(2) 找出 ( 求出 )平面内的两个不共线的向量a＝( a1，b1，c1) ， b＝( a2，b2，c2) ．(3) 根据法向量的定义建立关...