第五章 矩阵的特征值和特征向量来源：线性代数精品课程组作者：线性代数精品课程组1．教学目的和要求：(1) 理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求矩阵的特征值和特征向量. (2) 了解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件，会将矩阵化为相似对角矩阵 . (3) 了解实对称矩阵的特征值和特征向量的性质. 2．教学重点：(1) 会求矩阵的特征值与特征向量. (2) 会将矩阵化为相似对角矩阵. 3．教学难点： 将矩阵化为相似对角矩阵. 4．教学内容：本章将介绍矩阵的特征值、特征向量及相似矩阵等概念，在此基础上讨论矩阵的对角化问题. § 1 矩阵的特征值和特征向量定义 1设是一个阶方阵，是一个数，如果方程 (1) 存在非零解向量，则称为的一个特征值，相应的非零解向量称为属于特征值的特征向量．（ 1）式也可写成， (2) 这是个未知数个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充分必要条件是系数行列式, (3) 即上式是以为未知数的一元次方程， 称为方阵的特征方程．其左端是的次多项式，记作，称为方阵的特征多项式．== =显然，的特征值就是特征方程的解．特征方程在复数范围内恒有解，其个数为方程的次数（重根按重数计算），因此，阶矩阵有个特征值．设阶矩阵的特征值为由多项式的根与系数之间的关系，不难证明（ⅰ）（ⅱ）若为的一个特征值， 则一定是方程的根 , 因此又称特征根， 若为方程的重根，则称为的重特征根．方程的每一个非零解向量都是相应于的特征向量，于是我们可以得到求矩阵的全部特征值和特征向量的方法如下：第一步：计算的特征多项式；第二步：求出特征方程的全部根，即为的全部特征值；第三步：对于的每一个特征值，求出齐次线性方程组：的一个基础解系，则的属于特征值的全部特征向量是（其中是不全为零的任意实数）．例 1 求的特征值和特征向量. 解的特征多项式为=所以的特征值为当=2 时，解齐次线性方程组得解得令=1，则其基础解系为：=因此，属于=2 的全部特征向量为：. 当=4 时，解齐次线性方程组得令=1，则其基础解系为：因此的属于=4 的全部特征向量为[注]：若是的属于的特征向量，则也是对应于的特征向量，因而特征向量不能由特征值惟一确定．反之，不同特征值对应的特征向量不会相等，亦即一个特征向量只能属于一个特征值. 例 2 求矩阵的特征值和特征向量. 解的特征多项式为== ，所以的特征值为==2（二重根），. 对于==2，解齐次线性方程组．由，得基础解系...
