矩阵的秩及其应用

矩阵的秩及其应用摘要： 本文主要介绍了矩阵的秩的概念及其应用。首先是在解线性方程组中的应用，当矩阵的秩为1 时求特征值；其次是在多项式中的应用，最后是关于矩阵的秩在解析几何中的应用。对于每一点应用，本文都给出了相应的具体的实例，通过例题来加深对这部分知识的理解。关键词： 矩阵的秩；线性方程组；特征值；多项式引言：阵矩的秩是线性代数中的一个概念，它描述了矩阵的一个数值特征。它是矩阵的一个重要性质。 在判定向量组的线性相关性， 线性方程组是否有解， 求矩阵的特征值，在多项式、 空间几何中等多个方面都有广泛的应用。由于矩阵的秩的重要作用和地位，需要我们认真学习。1．矩阵的秩及其求法矩阵的秩的定义定义 1.1.1[1]矩阵 A 的行（列）向量组的秩称为矩阵A 的行（列）秩。定义 1.1.2[2] 矩阵的列向量组（或行向量组）的任一极大线性无关组所含向量的个数称为矩阵的秩。定义 1.1.3[1]设在矩阵 A 中有一个不等于零的r 阶子式，且所有的1r子式（如果存在的话）全等于零，则称矩阵A的秩为 r ，记为 r Ar 或秩 Ar 。零矩阵的秩规定为零。注：由定义可以看出(1) 若 A为nm矩阵，则()r Am，也 ( )r An ，即min{, }r Am n(2) TrArA , r kAr A , k 为非零数矩阵的秩的求法定义法和初等变换法是我们常用的求矩阵的秩的两种方法，下面就来比较一下这两种方法。方法 1 按定义例 1.2.1 求矩阵 A =41311221222832的秩解 按定义3 解答，容易算出二阶子式122320 ，而矩阵的所有三阶子式1312122832=0，43112122232=0，41312212283=0，4111222282=0 所以2rA方法 2 初等变换法引理 1.2.1[1]初等变换不改变矩阵的秩。例 1.2.1 求矩阵23822122121314A的秩解 用“”表示对 A 作初等变换，则有A13142122122382131406440966131406440000=B，在矩阵 B 中易知, 所有三阶子式全为零，且有一个二阶子式13060. 所以2r B, 可得2rA。即矩阵的秩为 22 矩阵的秩的应用2．1 矩阵的秩在解线性方程组中的应用解线性方程组常用的方法是消元法和利用矩阵的秩。消元法多用于方程组比较简单时。当方程组的计算量较大时运用矩阵的秩来求解时就显现出其明显的优势。引理2.1.1[1]如果齐次线性方程组111122121122221122...0...0...............0nnnnsssnnb xb xb xb xb xb xb xb xb x的系数矩阵111212122212nnsssnbbbbbbBbbbLLMMMML的行秩 rn ，那么它有非零解。例 2.1.1 求齐次...