2 1 第2 章 平稳随机过程 2 .1 平稳随机过程的基本概念 引言 “平稳”的中文含意:平坦、稳定。不大起大落。 随机过程)(tX,当t 变化时,得一系列随机变量:)(1tX,)(2tX,……)(ntX。 )(tX具有“平稳”性,是指)(itX的变化稳定,不“大起大落”,各)(itX具有相同的分布规律、或具有相同的数字特征、或具有相同的概率密度。 在统计学中,)(1tX,)(2tX,……)(ntX往往假设满足“独立同分布”(iid )。“独立”性不太容易满足,“同分布”就包含了“平稳性”。 2 .1 .1 严平稳过程及其数字特征 一、定义 随机过程)(tX的n 维概率密度(或n 维分布函数)),,,(2121nnXtttxxxp不随时间起点选择不同而改变。即:对任何n 和 ,过程)(tX的概率密度满足: ),,,(),,,(21212121nnXnnXtttxxxptttxxxp 则称)(tX为严平稳过程。 二、严平稳过程的一、二维概率密度 结论:严平稳过程)(tX的一维概率密度与时间无关;严平稳过程)(tX的二维概率密度只与1t 、2t 时间间隔12tt 有关。 证明:当n =1 时,对任何 ,有),(),(1111txptxpXX。 取1t,则有)()0,(),(),(),(111111111xpxpttxptxptxpXXXXX。 当n =2 时,对任何 ,有),,,(),,,(21212121ttxxpttxxpXX。 取1t,12tt ,则),,(),0,,(),,,(2112212121xxpttxxpttxxpXXX。 三、严平稳过程的数字特征 (1 )若)(tX是严平稳过程,则它的均值、均方值、方差皆为与时间无关的常数。 22 证明:XXXXmdxxx pdxtxx ptXEtm)(),())(()( 2222)(),())((XXXdxxpxdxtxpxtXE 22)()())((XXXdxxpmxtXD (2)若)(tX是严平稳过程,则它的自相关函数),(21 ttRX只是间间隔12tt 的单变量的函数。 证明: 212121212121),,,())()((),(dxdxttxxpxxtXtXEttRXX =)(),,(212121XXRdxdxxxpxx 2 .1 .2 宽平稳过程 引言:要证明一个过程是来平稳过程往往较困难。在理论和应用中,只须研究随机过程的期望、方差和相关函数、功率谱密度等。所以,严平稳过程的要求可适当放宽。 一、 定义 若随机过程)(tX的数学期望为一常数,其自相关函数),(21 ttRX只与时间间隔12tt 有关,且它的均方值有限,即: XmtXE))(( )())()((),...