平稳随机过程

2 1 第2 章 平稳随机过程 2 ．1 平稳随机过程的基本概念 引言 “平稳”的中文含意：平坦、稳定。不大起大落。 随机过程)(tX，当t 变化时，得一系列随机变量：)(1tX，)(2tX，……)(ntX。 )(tX具有“平稳”性，是指)(itX的变化稳定，不“大起大落”，各)(itX具有相同的分布规律、或具有相同的数字特征、或具有相同的概率密度。 在统计学中，)(1tX，)(2tX，……)(ntX往往假设满足“独立同分布”（iid ）。“独立”性不太容易满足，“同分布”就包含了“平稳性”。 2 ．1 ．1 严平稳过程及其数字特征 一、定义 随机过程)(tX的n 维概率密度（或n 维分布函数）),,,(2121nnXtttxxxp不随时间起点选择不同而改变。即：对任何n 和 ，过程)(tX的概率密度满足： ),,,(),,,(21212121nnXnnXtttxxxptttxxxp 则称)(tX为严平稳过程。 二、严平稳过程的一、二维概率密度 结论：严平稳过程)(tX的一维概率密度与时间无关；严平稳过程)(tX的二维概率密度只与1t 、2t 时间间隔12tt 有关。 证明：当n ＝1 时，对任何 ，有),(),(1111txptxpXX。 取1t，则有)()0,(),(),(),(111111111xpxpttxptxptxpXXXXX。 当n ＝2 时，对任何 ，有),,,(),,,(21212121ttxxpttxxpXX。 取1t，12tt ，则),,(),0,,(),,,(2112212121xxpttxxpttxxpXXX。 三、严平稳过程的数字特征 （1 ）若)(tX是严平稳过程，则它的均值、均方值、方差皆为与时间无关的常数。 22 证明：XXXXmdxxx pdxtxx ptXEtm)(),())(()( 2222)(),())((XXXdxxpxdxtxpxtXE 22)()())((XXXdxxpmxtXD  （2）若)(tX是严平稳过程，则它的自相关函数),(21 ttRX只是间间隔12tt 的单变量的函数。 证明： 212121212121),,,())()((),(dxdxttxxpxxtXtXEttRXX  ＝)(),,(212121XXRdxdxxxpxx  2 ．1 ．2 宽平稳过程 引言：要证明一个过程是来平稳过程往往较困难。在理论和应用中，只须研究随机过程的期望、方差和相关函数、功率谱密度等。所以，严平稳过程的要求可适当放宽。 一、 定义 若随机过程)(tX的数学期望为一常数，其自相关函数),(21 ttRX只与时间间隔12tt 有关，且它的均方值有限，即： XmtXE))(( )())()((),...