平面几何在解析几何中的应用

平面几何在解析几何中的应用 南昌大学附中 陈一君 一、活用几何关系速解圆类问题 在解析几何中，作为二次曲线的圆是研究直线的延续和学习圆锥曲线的基础.圆既是轴对称图，又是中心对称图形，其中蕴藏着诸多位置关系和数量关系，对于解析几何中圆的某些问题，若能活用题中几何要素的关系，解题就会变得简单而快捷，圆涉及的知识点主要有：圆中切割线定理、圆幂定理、垂径定理. 活用圆的几何性质可以快速解决圆类问题，降低运算量，培养学生认真分析图形的几何性质，养成综合应用知识的习惯，提高解题技巧与能力.解题时，若能把握形的几何特征，注意挖掘隐蔽条件，灵活利用平面几何知识，对于拓广解题思路，减少运算量，将会起到非常重要的作用，今天我们带领大家学习如何活用几何关系速解圆类问题. 【例题】已知直线和圆相交 于不 同 两 点 A，B，点在直线 l 上 ，且 满 足，当变化 时，求的轨 迹 ． 图 1 【常规 解法 】设 点， 则的参 数方 程 为 将（ 1） 代 入，得 显 然． 设 方 程 （ 2） 的两 根 为，由， 依 题意点在AB 或 BA 的延长 线上 ， :l yxb22:20C xyyp 2PAPBbp (),P m n:l yxb22() (1)22xmttynt为参 数2220xyy2222112222022mmttnnttnt ，222( 222)20, (2)tmntmnn0 12tt， 2PAPBpx y l P T A B C ∴，即 ∴． 即为的轨迹方程，表示以 为圆心，为半径的圆． 【点评】由联想到直线的参数方程中的几何意义虽然也很自然，但相对与参数方程在教材中的地位来说对更多高三学生来说亦属不易，还有运算量相比较还是比较大的，时间成本的控制不如方法一．需要说明的是如果不用直线的参数方程的方法，纯代数解几的方法去做更是“眼到手不到”，不可能在指定时间内完成 【利用圆的几何性质解法】圆的圆心．由切割线定理，如图 1 所示，有，故点在圆外，∴ ∴点的轨迹方程为． 【点评】显然直线AB 是圆的割线，运用平面几何知识中的切割线定理求轨迹就简单明了，结果是体现在运算量得到极大地减少，时间成本得到控制． 通过本节微专题学习，发现求解圆的问题时，若能充分揭示问题中的几何关系，灵活运用平面几何知识，解题则会事半功倍.切割线定理、圆幂定理、垂径定理是圆的对称性的反映，它们在圆中的应用程度非常之广 泛 . 【针 对训 练 】（ 2013 年 ...