利用导数讨论函数性质VIP免费

第二章一元微分学第六节利用导数讨论函数性质本节内容包括：利用导数讨论函数的单调性、求函数极值和极值点、最值和最值点及其应用，利用导数讨论函数图形的凹凸性、求曲线的拐点，求曲线切线、法线、渐近线及函数作图等。这部分内容很重要，事实上前面几节的知识都用到了本节的内容。在高等数学的各种考试中本节的知识都是重要部分，同学们一定要很熟练。但由于这部分内容一般不要求很高的技巧（要求熟练、准确及对概念的清楚），所以只简单地举几个例子。最后举二个例子介绍相关变化率的问题。例1．设)(xf二阶可导，)0()4(yydxdy．若曲线)(xfy的一个拐点为)3,(0x，则_______．分析：由题设知,3|0xxy并且0|022xxdxyd，而dxdyyydydyydxddxyd])4[(])4[(22＝))1(4()4()4(])4([121yyyyyyyy由0||322220yxxdxyddxyd，得3注：本题的解决无需技巧，关键是清楚拐点的概念及复合函数求导．例２：求曲线1lnlnttyttx的渐近线解：先看是否有水平渐近线：易见t时1,yx，所以有1limyx，故有水平渐近线1y；再看是否有铅直渐近线：易见0t时yx,0，所以有yx0lim，故有铅直渐近线0x；再看是否有斜渐近线：易见0limxyx，故无斜渐近线．Page1of8例３．求椭圆12222byax在第一象限中的切线，使它被两坐标轴所截的线段最短．解法一：椭圆的参数方程为sin,cosbyax，设切点为)20()sin,cos(ba，那么切线的斜率为sincosabk，切线方程为)cos(sincossinaxabby切线在x轴上的截距为cosa，切线在y轴上的截距为sinb．从所截线段长为)20(sincos)(2222bal求)(l的最小值点等价于求)20(sinbcos)(2222af的最小值点．abbaftan0cossin2sincos2)(3232从而知)(f在)2,0(有唯一驻点abarctan，由本问题的实际背景我们可以判断)(f在)2,0(内取得最小值，因此abarctan时)(f取得最小值．此时切点坐标为babbybaaax,所求的切线方程为)(baaaxbaabbabby，化简得Page2of81)()(babybaax解法二：设切点为)0(),(axyx，那么切线的斜率为yaxbk22，切线方程为)(22xXyaxbyY切线在x轴上的截距为xa2，切线在y轴上的截距为yb2．从所截线段长为)0()(2424axybxaxl求)(xl的最小值点等价于求)0()(2424axybxaxf的最小值点．yybxaxf343422)(32322234340)(22byaxyaxbybxa又yx,满足12222byax联立以上两个方程得：babbybaaax,从而知)(xf在),0(a有唯一驻点baaax，由本问题的实际背景我们可以判断)(xf在),0(a内取得最小值，因此baaax时)(xf取得最小值．此时切点坐标为Page3of8babbybaaax,所求的切线方程1)()(babybaax注：利用高等数学知识解决实际问题（即所谓的应用题）几乎是必考的．其中用微分学（一元或多元微分学）知识解决实际应用中的最大值或最小值问题是其中很重要的一部分．解决这种问题的关键是：根据实际背景和问题的要求选好自变量并求出目标函数同时确定该目标函数的定义域I（一般情况下I是一个区间，可以是开的、闭的或半开半闭，也可是有限的、无限的．）求出目标函数在I内的驻点，如果驻点是唯一的，那么可用下面两种方式说明该驻点就是所求的最大值点或最小值点：（１）根据实际问题的背景，可以判定目标函数在区间I内部取得最大值（或最小值），且在I内的驻点又是唯一的，则该驻点就是最大值点（最小值点）．（２）若目标函数在区间I内只有唯一驻点，又通过一阶导或二阶导可以判定该驻点为极大值点（或极小值点），则该驻点就是最大值点（最小值点）．另外要注意：选择不同的自变量，目标函数的表达式会不一样，计算量及复杂性可能有很大差别，因此选择合适的自变量有时是很关键的．有的问题既可用一元微分学去解决，也用二元微分学去解决，就看哪个更简便．事实上例３用二元微分学知识去解可能更方便，实际就...