离散型与连续型随机变量

1 / 13 例 1 一张考卷上有 5 道选择题，每道题列出4 个可能答案，其中只有一个答案是正确的．某学生靠猜测至少能答对4 道题的概率是多少？解：每答一道题相当于做一次Bernoulli试验41APA，则答对一道题则答 5 道题相当于做 5 重 Bernoulli试验．的题数：该学生靠猜测能答对设： X,415~，则BX44XPP道题至少能答对5445414341C641二项分布的分布形态则，，若pnBX ~pqkqkpnkXPkXP1111由此可知， 二项分布的分布 先是随着 k 的增大而增大， 达到其最大值后再随着 k 的增大而减少．这个使得可以证明：kXP能次数．称为该二项分布的最可达到其最大值的0k；不是整数，则如果pnkpn110；或是整数，则如果11110pnpnkpn2 / 13 例 2 对同一目标进行 300 次独立射击，设每次射击时的命中率均为0.44 ，试求 300次射击最可能命中几次？其相应的概率是多少？解：对目标进行300 次射击相当于做 300 重 Bernoulli 试验．令：则由题意．，44.0300~ BX，它不是整数由于44.13244.01300因此，最可能射击的命中次数为13244.1320k其相应的概率为16813213230056.044.0132CXP04636.03）Poisson 分布如果随机变量 X 的分布律为，，，210!kekkXPk则称随机变量X 服从参数为λ 的 Poisson 分布．分布律的验证⑴由于0 可知对任意的自然数k，有0!ekk⑵又由幂级数的展开式，可知1!!00eekeekkkkk所以，，，210!kekkXPk是分布律．射击中命中目标的次数： 300X3 / 13 Poisson 分布的应用1、Poisson 分布是概率论中重要的分布之一．2、自然界及工程技术中的许多随机指标都服从Poisson 分布．3、例如，可以证明，电话总机在某一时间间隔内收到的呼叫次数，放射物在某一时间间隔内发射的粒子数，容器在某一时间间隔内产生的细菌数，某一时间间隔内来到某服务台要求服务的人数等等，在一定条件下，都是服从 Poisson 分布的．例 3设随机变量X 服从参数为λ 的 Poisson 分布，且已知21XPXP．试求4XP解：随机变量X 的分布律，，，210!kekkXPk由已知21XPXP得ee!2!121022解得．2不合题意，舍去另一个解024!424eXP232 e09022.0例 4 著”的概率．试求此药对他“疗效显次感冒，在这一年中，他得了现某人服用此药一年，．的人来讲，则是无效的余（疗效一般）；而对其降为的人来讲，可将参数（疗效显著）；对另降为数的人来讲，可将上述参，它对现有一种预防感冒的药分布，的冒次数服从参数设一个人在一年内的感3%254%451%305Poisson4...