简单的三角恒等变换练习题

简单的三角恒等变换练习题3.2 简单的三角恒等变换一、填空题1 ． 若25 π ＜ α ＜411 π ， sin2α= －54 ， 求tan ________________ 2．已知 sinθ=－ 53 ，3π＜θ＜2π7 ，则 tan 的值为___________．4．已知 α 为钝角、β 为锐角且 sinα= 54 ，sinβ=1312，则 cos的值为 ____________．5． 设 5π＜θ＜6π，cos =a，则 sin 的值等于________________ 二、解答题6．化简2cos2sin12cos2sin1．7．求证： 2sin（ 4π －x）·sin（4π +x）=cos2x．8．求证：tan1tan1sincoscossin2122a．9．在△ ABC 中，已知 cosA=BbabBacoscos，求证：babaBA2tan2tan22．10． 求 sin15 °，cos15 °，tan15 °的值．11． 设－3π＜α＜－2π5 ，化简2)πcos(1．12． 求证： 1+2cos2θ－cos2θ=2．13． 求证： 4sinθ·cos2 =2sinθ+sin2θ．14． 设 25sin2x+sinx－24=0，x 是第二象限角，求 cos2x 的值．15． 已知 sinα= 1312 ，sin（α+β）=54 ，α 与 β均为锐角，求 cos ．参考答案一、填空题1．215．2．－3 4．656575．－21a二、解答题6．解：原式 =2cos2sin12cos2sin1=22cos2cossin21sin21cossin21=22cos2cossin2sincossin2=)cos(sincos2sincossin2=tanθ．7．证明：左边 =2sin（ 4π －x）·sin（ 4π +x）=2sin（ 4π －x）·cos（4π －x）=sin（ 2π －2x）=cos2x=右边，原题得证．8．证明：左边 =22sincoscossin21=)sin(cos)sin(coscossin2sincos22=)sin)(cossin(cos)sin(cos2=sincossincos=tan1tan1=右边，原题得证．9．证明：∵ cosA=BbabBacoscos，∴1－cosA=BbaBbacos)cos1()(，1+cosA=BbaBbacos)cos1()(．∴)cos1()()cos1()(cos1cos1BbaBbaAA．而2tan2cos22sin2cos1cos1222ABAAA，2tancos1cos12 BBB，∴tan2)()(2babaA·tan22B ，即babaBA2tan2tan22．10．解：因为 15°是第一象限的角，所以sin15 °=4264)26(43482322231230cos12，cos15 °=4264)26(43482322231230cos12，tan15 °=30cos130cos1=2－3 ．11．解：∵－ 3π＜α＜－2π5 ，∴－2π3 ＜ ＜－4π5 ，cos ＜0．又由诱导公式得cos（α－π）=－cosα，∴cos12)πcos(1=－cos ．12．证明：左边 =1+2cos2θ－cos2θ=1+2·22cos1－cos2θ=2=右边．13．证明：左边=4sinθ·cos2 =2sinθ·2cos2 =2sinθ·（1+cosθ）=2sinθ+2sinθcosθ=2sinθ+sin2θ=右边．14．解：因为 25sin2x+sinx－24=0，所以 sinx=2524 或 sinx=－1．又因为 x 是第二象限角，所以 sinx=2524 ，cosx=－257 ．又2x 是第一或第三象限角，从而 cos2x =±225712cos1x=±53 ．15．解：∵ 0＜α＜ 2π ，∴cosα=135sin12．又∵ 0＜α＜2π ，0＜β＜2π ，∴0＜α+β＜π．若０＜ α+β＜2π ，∵sin（α+β）＜ sinα，∴α+β＜α 不可能．故2π ＜α+β＜π．∴ cos（α+β）=－53 ．∴cosβ=cos［（α+β）－ α］=cos （ α+β ） cosα+sin （ α+β ） sinα= －53 ·54135·65331312，∵0＜β＜2π ，∴0＜2 ＜4π ．故 cos656572cos1．