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生命表函数与生命表构造第三章本章重点生命表函数生存函数剩余寿命死亡效力生命表的构造有关寿命分布的参数模型生命表的起源生命表的构造选择与终极生命表有关分数年龄的三种假定第一节生命表函数分布函数一个人的寿命从出生到死亡的时间长度，是无法事先确定的，在概率上称之为随机变量，记为X。是连续型随机变量。Pr0XXFxXxx用表示出生婴儿未来寿命的随机变量，则的分布函数00xx即岁的人在岁之前死亡的概率。,0XfxfxFxx的概率密度函数记为则，生存函数定义意义：新生儿能活到岁的概率。与分布函数的关系：与密度函数的关系：新生儿将在x岁至z岁之间死亡的概率：()Pr()SxXx)(1)(xFxS)()(xSxfxPr()()()xXzsxsz剩余寿命定义：已经活到x岁的人（简记(x)），还能继续存活的时间，称为剩余寿命，记作T(x)。T分布函数记为(())()1()()()TFtPrTXtPrxXxtXxFxtFxFxsxsxtsx＝TFt剩余寿命剩余寿命的生存函数：特别：txpPr(())Pr()()()txpTxtXxtXxsxtsx0()xpsxxxt表示岁的人在岁仍活着的概率。剩余寿命：x岁的人至少能活到x+1岁的概率：x岁的人将在1年内去世的概率：X岁的人活过t年后在往后u年内去世的概率即在x＋t岁到x＋t＋u岁之间死亡的概率。xpxqxtuq1xxpp1xxqq整值剩余寿命定义：未来存活的完整年数，简记概率函数()x()Kx(),()1,0,1,KXkkTxkk11Pr(())Pr(()1)Pr(()1)Pr()1PrkxkxkxkxKXkkTxkkTxkTxkTxkqqpp剩余寿命的期望与方差期望剩余寿命：剩余寿命的期望值(均值),简记()x00000000(())()()oxTtxtxtxtxtxtxsxteETxtftdttdtsxtpdttppdttppdtpdtoxe剩余寿命的期望与方差剩余寿命的方差2220(())(())()2otxxVarTxETxETxtpdte整值剩余寿命的期望与方差期望整值剩余寿命：整值剩余寿命的期望值(均值),简记()x1012233412310(())()23xkxkxkxxxxxxxxxkxkeEKxkppppppppppppxe整值剩余寿命的期望与方差整值剩余寿命的方差22210(())()()(21)kxxkVarKxEKEKkpe死亡效力定义：的瞬时死亡率，简记死亡效力与生存函数的关系()xx()()ln[()]()()xsxfxsxsxsx死亡效力与生存函数的关系000000lnln,lnxyxxyxxxyydydysydysydysxdysxe两边积分，00xtxtyyxxydydytxdysxtepesxe从而，死亡效力死亡效力与密度函数的关系0xsdsxxfxsxe第二节生命表的构造有关寿命分布的参数模型DeMoivre模型(1729)Gompertze模型(1825)1()1,0xxxsxx()exp{(1)/ln},B0,c1,0xxxBcsxBccx有关寿命分布的参数模型Makeham模型(1860)Weibull模型(1939)()exp{(1)/ln},B0,A-B,c1,0xxxABcsxAxBccx1()exp{/(1)},0,0,0nxnkxsxkxnknx参数模型的问题至今为止找不到非常合适的寿命分布拟合模型。这四个常用模型的拟合效果不令人满意。使用这些参数模型推测未来的寿命状况会产生很大的误差寿险中通常不使用参数模型拟合寿命分布，而是使用非参数方法确定的生命表拟合人类寿命的分布。在非寿险领域，常用参数模型拟合物体寿命的分布。生命表起源生命表的定义根据已往一定时期内各种年龄的死亡统计资料编制成的由每个年龄死亡率所组成的汇总表.生命表的发展历史1662年,JoneGraunt,根据伦敦瘟疫时期的洗礼和死亡名单,写过《生命表的自然和政治观察》。这是生命表的最早起源。1693年，EdmundHalley,《根据Breslau城出生与下葬统计表对人类死亡程度的估计》，在文中第一次使用了生命表的形式给出了人类死亡年龄的分布。人们...