线性代数复习——计算或应用题

一21.设123,,ααα 线性无关，证明112β，223βαα ，331βαα 也线性无关。22.计算行列式1110110110110111。23.利用逆矩阵解矩阵方程X11012011-111011-1。24.已知1120121012aaA，求 a 的值，使得()r A2。25.求向量组1110α，2011α，3121α，4101α的秩和一个极大线性无关组，并把其余向量用此极大线性无关组线性表示。26.求矩阵 A=2112的特征值与特征向量。27.讨论当取何值时， 齐次线性方程组12312312343023020xxxxxxxxx有非零解， 并在有非零解时求其通解。参考答案 ：21.如果112233kkkO ，112223331()()()kkkO ，于是131122233()()()kkkkkkO ，由123,,线性无关知1312230,0,0,kkkkkk此方程组只有零解1230,0,0kkk，因此123,,线性无关。22.1110110110110111=1110001101010111=01 1101111=011101003=-10101 10033 23. 1121101-1101111-1101-111故1X11012011-111011-1121-111211-1-11-1111-11230-14-1-224.11 20001012012012012101 2101 2000aaAaaaa当 a=0 时，()r A2。25.记1234,,,A，A101110111120011101110000向量组的秩1234(,,,)()2rr A．所以1,2 是向量组的一个极大线性无关组，且3 =1, +2 ，4 =1, －2 。26.由特征方程21||12EA（ -3）1（）=0 得 A 的特征值1213，。对于特征值11，解方程组1)EA XO（，求得一个基础解系111，故 A 的属于11的全部特征向量为11k，1k 为任意非零数。对于特征值23，解方程组2)EA XO（，即120xx，求得一个基础解系211，故 A 的属于23 的全部特征向量为22k，2k 为任意非零数。27.对增广矩阵作初等行变换得14323112A143011003101011003当3 时r(A) 2 3方程组有非零解。 此时对应方程组为132300xxxx，基础解系为1X =( 1 1 1)T ，所求通解为1XkX ，k 为任意常数。二21.设12 为 n 阶方阵 A 的两个互不相等的特征值与之对应的特征向量分别为X1 X 2证明 X 1 X2 不是矩阵 A 的特征向量。22.设函数22112( )112211f xxx求方程 f(x) 0 的根。23.解矩阵方程142031121 101X。24.若向量组 α 1 (1 1 1)Tα 2 (1 2 3)Tα 3 (1 3 t)T 线性相关 求（ 1）t 的值；（2）将 α 3表示为 α 1 和 α 2 的线性组合。25.求方程组123123123320,50,3580.xxxxxxxxx的一个基础解系和通解。26. 已知二次型 f2x1x2 2x2x3 2x3x1 (1)求出二次型 f 的矩阵 A的特征值(2)写出二次型 f的标准形。27.当 取何值时方程组12323331 223 (...