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绝对值的三角不等式典型例题

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1.4 绝对值三角不等式☆教学目标: 1. 理解绝对值的定义,理解不等式基本性质的推导过程;2. 掌握定理 1 的两种证明思路及其几何意义; 3.理解绝对值三角不等式; 4.会用绝对值不等式解决一些简单问题。☆教学重点: 定理 1 的证明及几何意义。☆教学难点: 换元思想的渗透。☆教学过程:一、引入 :证明一个含有绝对值的不等式成立,除了要应用一般不等式的基本性质之外,经常还要用到关于绝对值的和、差、积、商的性质:(1)baba(2)baba(3)baba(4))0(bbaba请同学们思考一下,是否可以用绝对值的几何意义说明上述性质存在的道理?实际上,性质baba和)0(bbaba可以从正负数和零的乘法、除法法则直接推出; 而绝对值的差的性质可以利用和的性质导出。因此,只要能够证明baba对于任意实数都成立即可。我们将在下面的例题中研究它的证明。现在请同学们讨论一个问题:设a 为实数, a 和 a 哪个大?显然aa,当且仅当0a时等号成立(即在0a时,等号成立。在0a时,等号不成立)。同样,.aa当且仅当0a时,等号成立。含有绝对值的不等式的证明中,常常利用aa、aa及绝对值的和的性质。二、典型例题 :例 1、证明 (1)baba,(2)baba。证明( 1)如果,0ba那么.baba所以.bababa如果,0ba那么).(baba所以babababa)()((2)根据(1)的结果,有bbabba,就是,abba。所以,baba。例 2、证明bababa。例 3、证明cbcaba。思考: 如何利用数轴给出例3 的几何解释?(设 A,B,C为数轴上的 3 个点,分别表示数 a,b,c,则线段.CBACAB当且仅当 C在 A,B 之间时,等号成立。 这就是上面的例 3。特别的, 取 c=0(即C为原点),就得到例 2 的后半部分。)探究:试利用绝对值的几何意义,给出不等式baba的几何解释?定理 1 如果,a bR , 那么baba. 在上面不等式中 , 用向量,a br r分别替换实数,a b , 则当,a br r不共线时 , 由向量加法三角形法则 : 向量,a br r,abrr构成三角形 , 因此有 |a+b|<|a|+|b|其几何意义是什么?含有绝对值的不等式常常相加减,得到较为复杂的不等式,这就需要利用例1,例 2 和例 3 的结果来证明。例 4、已知2,2cbycax,求证.)()(cbayx证明)()()()(byaxbayxbyax(1)2,2cbycax,∴cccbyax22(2)由( 1),(2)得:cbayx)()(例 5、已知.6,4ayax求证:ayx32。证明6,4ayax,∴23,22ayax,由例 1 及上式,aaayxyx223232。注意: 在推理比较简单时,我们常常...

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