绝对值的三角不等式典型例题

1.4 绝对值三角不等式☆教学目标： 1. 理解绝对值的定义，理解不等式基本性质的推导过程；2. 掌握定理 1 的两种证明思路及其几何意义； 3.理解绝对值三角不等式； 4.会用绝对值不等式解决一些简单问题。☆教学重点： 定理 1 的证明及几何意义。☆教学难点： 换元思想的渗透。☆教学过程：一、引入 ：证明一个含有绝对值的不等式成立，除了要应用一般不等式的基本性质之外，经常还要用到关于绝对值的和、差、积、商的性质：（1）baba（2）baba（3）baba（4）)0(bbaba请同学们思考一下，是否可以用绝对值的几何意义说明上述性质存在的道理？实际上，性质baba和)0(bbaba可以从正负数和零的乘法、除法法则直接推出； 而绝对值的差的性质可以利用和的性质导出。因此，只要能够证明baba对于任意实数都成立即可。我们将在下面的例题中研究它的证明。现在请同学们讨论一个问题：设a 为实数， a 和 a 哪个大？显然aa，当且仅当0a时等号成立（即在0a时，等号成立。在0a时，等号不成立）。同样，.aa当且仅当0a时，等号成立。含有绝对值的不等式的证明中，常常利用aa、aa及绝对值的和的性质。二、典型例题 ：例 1、证明 （1）baba，（2）baba。证明（ 1）如果,0ba那么.baba所以.bababa如果,0ba那么).(baba所以babababa)()(（2）根据（1）的结果，有bbabba，就是，abba。所以，baba。例 2、证明bababa。例 3、证明cbcaba。思考： 如何利用数轴给出例3 的几何解释？（设 A，B，C为数轴上的 3 个点，分别表示数 a，b，c，则线段.CBACAB当且仅当 C在 A，B 之间时，等号成立。 这就是上面的例 3。特别的， 取 c＝0（即C为原点），就得到例 2 的后半部分。）探究：试利用绝对值的几何意义，给出不等式baba的几何解释？定理 1 如果,a bR , 那么baba. 在上面不等式中 , 用向量,a br r分别替换实数,a b , 则当,a br r不共线时 , 由向量加法三角形法则 : 向量,a br r,abrr构成三角形 , 因此有 ｜a+b｜<｜a｜+｜b｜其几何意义是什么？含有绝对值的不等式常常相加减，得到较为复杂的不等式，这就需要利用例1，例 2 和例 3 的结果来证明。例 4、已知2,2cbycax，求证.)()(cbayx证明)()()()(byaxbayxbyax（1）2,2cbycax，∴cccbyax22（2）由（ 1），（2）得：cbayx)()(例 5、已知.6,4ayax求证：ayx32。证明6,4ayax，∴23,22ayax，由例 1 及上式，aaayxyx223232。注意： 在推理比较简单时，我们常常...